Então y / x vale:
(A) -\frac{1}{2}
(B) 0
(C) -1
(D) -\frac{3}{2}
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -\tfrac{17}{2} & -\tfrac{11}{2}\\[6pt] \tfrac{33}{4} & \tfrac{21}{4} \end{pmatrix}
e pede o valor de \tfrac{y}{x} para o vetor \vec v=(x,y)\neq\vec0 que satisfaz
\lim_{n\to\infty}\|A^n\vec v\|=0.
O conteúdo aqui é análise de autovalores/autovetores: um vetor só tende a zero pelas aplicações sucessivas de A se for múltiplo de um autovetor cujo autovalor \lambda satisfaça |\lambda|<1.]
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico de A. O traço e o determinante são
Desses autovalores, apenas \lambda_1=-\tfrac14 satisfaz \lvert\lambda_1\rvert<1. Para que A^n\vec v\to\vec0 é necessário que \vec v seja autovetor associado a \lambda_1.