Seja A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 4 & 2\end{array}\right]. Escreva 5 A. É verdade que \operatorname{det}(5 A)=5 \operatorname{det}(A) ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 4 & 2\end{pmatrix}
e pede (a) escrever 5A e (b) verificar se \det(5A)=5\,\det(A). O conteúdo é multiplicação de matriz por escalar e cálculo de determinante de matriz 2\times2.

Passo 2

Para multiplicar uma matriz por um escalar, basta multiplicar cada entrada pelo escalar. Logo,
5A = 5\cdot\begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 4 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\cdot3 & 5\cdot1 \\\\ 5\cdot4 & 5\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15 & 5 \\\\ 20 & 10\end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos a fórmula do determinante para matriz 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc.
Assim,
\det(A) = 3\cdot2 - 1\cdot4 = 6 - 4 = 2.

Passo 4

Agora calculamos \det(5A) aplicando a mesma fórmula a \displaystyle 5A = \begin{pmatrix}15 & 5 \\\\ 20 & 10\end{pmatrix}:
\det(5A) = 15\cdot10 - 5\cdot20 = 150 - 100 = 50.

Passo 5

Comparando com 5\,\det(A)=5\cdot2=10, vemos que
\det(5A)=50 \neq 10 = 5\,\det(A).
De fato, para matrizes n\times n vale a propriedade geral \det(kA)=k^n\det(A); aqui n=2, logo \det(5A)=5^2\det(A)=25\det(A).

Resposta

5A = \displaystyle\begin{pmatrix}15 & 5 \\\\ 20 & 10\end{pmatrix}.
Não é verdade que \det(5A)=5\,\det(A); na realidade \det(5A)=25\,\det(A).

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