Use o determinante para verificar quais das matrizes abaixo são inversíveis, caso seja, calcule sua inversa.
\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 5 & 6 & 7 \\\\ 0 & 0 & 8 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 10\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 0 & 5 & 6 & 7\\\\ 0 & 0 & 8 & 9\\\\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}
e pede para verificar invertibilidade via determinante e, se invertível, calcular A^{-1}. O conteúdo principal é que matrizes triangulares têm determinante igual ao produto dos elementos da diagonal e que sua inversa, quando existe, é também triangular, obtida por substituição.

Passo 2

Como A é triangular superior,
\det(A)=1\cdot5\cdot8\cdot10=400.
Como \det(A)\neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Para encontrar A^{-1}=(b_{ij}), usamos que A^{-1} é triangular superior e satisfaz A\,A^{-1}=I. Daí nas equações das linhas e colunas obtemos cada b_{ij}, começando pelos diagonais.

Passo 4

As entradas diagonais vêm de
a_{ii}\,b_{ii}=1 \quad\Longrightarrow\quad b_{11}=\tfrac1{1},\;b_{22}=\tfrac1{5},\;b_{33}=\tfrac1{8},\;b_{44}=\tfrac1{10}.

Passo 5

Das equações de A\,A^{-1}=I para os elementos logo acima da diagonal, obtemos
5\,b_{23}+6\,b_{33}=0\;\Longrightarrow\;b_{23}=-\frac{6}{5\cdot8}=-\frac{3}{20},
8\,b_{34}+9\,b_{44}=0\;\Longrightarrow\;b_{34}=-\frac{9}{8\cdot10}=-\frac{9}{80},
1\,b_{12}+2\,b_{22}=0\;\Longrightarrow\;b_{12}=-\frac{2}{1\cdot5}=-\frac{2}{5}.

Passo 6

Em seguida calculamos as entradas de segunda subdiagonal superior:
5\,b_{24}+6\,b_{34}+7\,b_{44}=0 \;\Longrightarrow\; 5\,b_{24}+6\Bigl(-\tfrac{9}{80}\Bigr)+7\Bigl(\tfrac1{10}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; b_{24}=-\frac{1}{200},
1\,b_{13}+2\,b_{23}+3\,b_{33}=0 \;\Longrightarrow\; b_{13}+2\Bigl(-\tfrac{3}{20}\Bigr)+3\Bigl(\tfrac1{8}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; b_{13}=-\frac{3}{40}.

Passo 7

Por fim, a única entrada de terceira subdiagonal superior:
1\,b_{14}+2\,b_{24}+3\,b_{34}+4\,b_{44}=0 \;\Longrightarrow\; b_{14}+2\Bigl(-\tfrac{1}{200}\Bigr)+3\Bigl(-\tfrac{9}{80}\Bigr)+4\Bigl(\tfrac1{10}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; b_{14}=-\frac{21}{400}.

Resposta

A matriz A é invertível e sua inversa é
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{3}{40} & -\tfrac{21}{400}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{3}{20} & -\tfrac{1}{200}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{8} & -\tfrac{9}{80}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{10} \end{pmatrix}.]

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