1. Seja A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]. Calcule A A^{t}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix}
e pede para calcular o produto A\,A^{t}.
Aqui vamos usar o conceito de matriz transposta e regra de multiplicação de matrizes (linha × coluna).

Passo 2

Primeiro escrevemos A^t, a transposta de A, trocando linhas por colunas:
A^t = \begin{pmatrix} a & c\\\ b & d \end{pmatrix}.
Para multiplicar A por A^t, calculamos cada entrada (i,j) como o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de A^t.

Passo 3

– Entrada (1,1): linha 1 de A é (a,b), coluna 1 de A^t é \bigl(a,b\bigr), logo
(A\,A^t)_{11} = a\cdot a + b\cdot b = a^2 + b^2.
– Entrada (1,2): linha 1 de A é (a,b), coluna 2 de A^t é \bigl(c,d\bigr), logo
(A\,A^t)_{12} = a\cdot c + b\cdot d.
– Entrada (2,1) vem da linha 2 de A e coluna 1 de A^t, que dá o mesmo de (1,2):
(A\,A^t)_{21} = c\cdot a + d\cdot b = a\,c + b\,d.
– Entrada (2,2): linha 2 de A é (c,d), coluna 2 de A^t é (c,d), então
(A\,A^t)_{22} = c^2 + d^2.

Resposta

A\,A^t = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & a\,c + b\,d\\[6pt] a\,c + b\,d & c^2 + d^2 \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados