1. Resolva o sistema A x=b, sendo.
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c} 11 \\ 0 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right]

Passo 1

O problema dá um sistema sobredeterminado A x=b, onde
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\\\ 4 & -3 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix} 11\\\\ 0\\\\ 6\\\\ 4 \end{pmatrix},
e pede a solução \,x=(x_1,x_2,x_3)^T. Vamos usar eliminação e substituição, aproveitando as equações mais simples para reduzir variáveis.

Passo 2

Da terceira equação
x_1 + x_2 + x_3 = 6
e da quarta equação
3x_1 + x_2 + x_3 = 4,
subtraímos a terceira da quarta para eliminar x_2 e x_3:
(3x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2 + x_3) = 4 - 6 \;\Longrightarrow\; 2x_1 = -2 \;\Longrightarrow\; x_1 = -1.
Então, de x_1 + x_2 + x_3 =6 segue
-1 + x_2 + x_3 = 6 \;\Longrightarrow\; x_2 + x_3 = 7 \;\Longrightarrow\; x_2 = 7 - x_3.

Passo 3

Substituímos x_1=-1 e x_2=7-x_3 na primeira equação
2x_1 - x_2 + 3x_3 = 11
para achar x_3:
2(-1) - (7 - x_3) + 3x_3 = 11 \;\Longrightarrow\; -2 -7 + x_3 + 3x_3 = 11 \;\Longrightarrow\; 4x_3 -9 = 11 \;\Longrightarrow\; 4x_3 = 20 \;\Longrightarrow\; x_3 = 5.
Logo x_2 = 7 - 5 = 2.

Passo 4

Verificamos na segunda equação
4x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0
se (x_1,x_2,x_3)=(-1,2,5) satisfaz:
4(-1)-3\cdot2 +2\cdot5 = -4 -6 +10 = 0,
ok. Também a quarta já foi usada no passo 2. Assim o sistema é consistente e tem solução única.

Resposta

x = \begin{pmatrix}-1 \\[6pt] 2 \\[6pt] 5\end{pmatrix}.]

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