O que é necessário para que um sistema tenha solução única?

Passo 1

Estamos estudando sistemas lineares da forma
A\,x = b
onde A é a matriz de coeficientes de dimensão m\times n, x é o vetor de incógnitas em \mathbb{R}^n e b é o vetor de termos independentes em \mathbb{R}^m. O conteúdo aqui é teoria de existência e unicidade de soluções via posto (rank) de matrizes.

Passo 2

Defina a matriz aumentada [A\mid b] de dimensão m\times(n+1). Lembre que o posto \rank(M) de uma matriz M é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Um sistema é consistente (tem alguma solução) exatamente quando
\rank(A) = \rank\bigl([A\mid b]\bigr).

Passo 3

Para que essa solução seja única, não basta ser consistente: precisamos que o número de graus de liberdade seja zero. Em termos de posto, isso significa que o posto de A seja igual ao número de incógnitas n:
\rank(A) = n.

Passo 4

Assim, a condição necessária e suficiente para solução única é
\rank(A) = \rank\bigl([A\mid b]\bigr) = n.
Nesse caso não sobra “direção livre” e o sistema só admite uma solução.

Passo 5

No caso particular de sistema quadrado ( m=n), a condição \rank(A)=n equivale a dizer que A é invertível, ou seja,
\det(A)\neq 0.

Resposta

Um sistema linear A\,x=b tem solução única se, e somente se,
\rank(A)=\rank\bigl([A\mid b]\bigr)=n,
onde n é o número de incógnitas. No caso m=n, isso equivale a \det(A)\neq 0.

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