O que é necessário para que um sistema tenha solução única?
Passo 1
Estamos estudando sistemas lineares da forma
onde
é a matriz de coeficientes de dimensão
,
é o vetor de incógnitas em
e
é o vetor de termos independentes em
. O conteúdo aqui é teoria de existência e unicidade de soluções via posto (rank) de matrizes.
Passo 2
Defina a matriz aumentada
de dimensão
. Lembre que o posto
de uma matriz
é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Um sistema é consistente (tem alguma solução) exatamente quando
Passo 3
Para que essa solução seja única, não basta ser consistente: precisamos que o número de graus de liberdade seja zero. Em termos de posto, isso significa que o posto de
seja igual ao número de incógnitas
:
Passo 4
Assim, a condição necessária e suficiente para solução única é
Nesse caso não sobra “direção livre” e o sistema só admite uma solução.
Passo 5
No caso particular de sistema quadrado (
), a condição
equivale a dizer que
é invertível, ou seja,
Resposta
Um sistema linear
tem solução única se, e somente se,
onde
é o número de incógnitas. No caso
, isso equivale a
.