Determine os instantes em que a curva C admite reta tangente horizontal ou vertical:
(2)
lx(t)=2 t^3+3 t^2-12 t y(t)=2 t^3+3 t^2

Passo 1

O enunciado nos pede para achar os instantes em que a curva paramétrica C tem reta tangente horizontal (ou seja, inclinação zero) ou reta tangente vertical (inclinação infinita). O conteúdo é de curvas paramétricas: a inclinação da tangente é dada por dydx=y'(t)x'(t). Vamos precisar calcular as derivadas x'(t) e y'(t) e aplicar as condições para tangente horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x(t)=2t^3+3t^2-12t, y(t)=2t^3+3t^2
Derivando em relação a t:
x'(t)=6t^2+6t-12=6(t+2)(t-1), y'(t)=6t^2+6t=6t(t+1)

Passo 3

Para ter reta tangente horizontal, precisamos de dy/dt=0 e dx/dtneq0. A condição y'(t)=0
y'(t)=6t(t+1)=0Longrightarrow t=0 ou t=-1
Verificando x'(t) nesses valores:
x'(0)=-12neq0, x'(-1)=-12neq0,
logo em t=0 e t=-1 temos tangente horizontal.

Passo 4

Agora, para reta tangente vertical, precisamos de dx/dt=0 e dy/dtneq0. A condição x'(t)=0
6(t+2)(t-1)=0Longrightarrow t=-2 ou t=1
Verificando y'(t) nesses valores:
y'(-2)=6cdot(-2)cdot(-1)=12neq0, y'(1)=6cdot1cdot2=12neq0,
logo em t=-2 e t=1 temos tangente vertical.

Resposta

Retas tangentes horizontais em t = -1 e t = 0; retas tangentes verticais em t = -2 e t = 1.

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