Seja
uma matriz
cujas linhas são linearmente independentes. Suponha que as colunas
de
gerem o espaço coluna de
. Seja
a matriz obtida de
removendo todas as colunas exceto
. Mostre que as linhas de
também são linearmente independentes.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (tudo retirado do enunciado):
- Seja
uma matriz de tamanho . - As linhas de
são linearmente independentes. - Existem índices
tais que as colunas geram o espaço coluna de . - A matriz
é obtida de removendo-se todas as colunas exceto . Assim tem tamanho .
O que o enunciado pede: - Mostrar que as linhas de
também são linearmente independentes.
Passo 2
Definição e observations úteis (explicação didática, passo a passo):
- Linhas linearmente independentes significa: se existem escalares
tais que
então todos os
são zero. Escrevendo em forma matricial, isso equivale a dizer que, se
, então
- As colunas
gerarem o espaço coluna de significa exatamente que cada coluna de é combinação linear dessas colunas selecionadas. Portanto, para cada coluna de existe um vetor tal que
- Organizando todos esses vetores
como colunas, forma-se uma matriz dada por
de modo que cada coluna de
é a correspondente coluna de
. Em suma:
Aqui convém checar dimensões:
é
,
é
, logo
é
, como
.
Passo 3
Construção explícita de
e justificativa de
:
- Para as colunas que já estão em
(índices ), escolhe-se (o -ésimo vetor da base de ), assim essas colunas são reproduzidas por . - Para uma coluna removida
(índice fora de ), por hipótese de geração existe com . - Montando todas as
em obtemos . Isso é somente a formalização da ideia: todas as colunas de são combinações das colunas de .
Passo 4
Usando
para relacionar dependências das linhas:
- Suponha, buscando contradição, que as linhas de
fossem linearmente dependentes. Então existe vetor , , tal que
- Multiplicando à direita por
obtemos
- A igualdade
diz que as linhas de são linearmente dependentes (a mesma combinação anula as linhas de ). Isso contraria a hipótese inicial de que as linhas de são linearmente independentes. - Logo a suposição de dependência das linhas de
leva a contradição; portanto não existe com .
Passo 5
Conclusão final (interpretação didática):
- A única possibilidade é que a única combinação linear das linhas de
que dá zero seja a combinação trivial . Portanto as linhas de são linearmente independentes. - Intuição rápida: como as colunas de
já geram todas as colunas de , qualquer relação linear entre linhas de se transfere para (multiplicando pela matriz que reconstrói a partir de ); como em não há relações não-triviais, em também não pode haver.
Resposta
As linhas de
são linearmente independentes.