Seja M uma matriz m \times n cujas linhas são linearmente independentes. Suponha que as colunas c_{i_{1}}, \ldots, c_{i_{k}} de M gerem o espaço coluna de M. Seja C a matriz obtida de M removendo todas as colunas exceto c_{i_{1}}, \ldots, c_{i_{k}}. Mostre que as linhas de C também são linearmente independentes.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (tudo retirado do enunciado):
  • Seja M uma matriz de tamanho m\times n.
  • As linhas de M são linearmente independentes.
  • Existem índices i_{1},\dots,i_{k} tais que as colunas c_{i_{1}},\dots,c_{i_{k}} geram o espaço coluna de M.
  • A matriz C é obtida de M removendo-se todas as colunas exceto c_{i_{1}},\dots,c_{i_{k}}. Assim C tem tamanho m\times k.
    O que o enunciado pede:
  • Mostrar que as linhas de C também são linearmente independentes.

Passo 2

Definição e observations úteis (explicação didática, passo a passo):
  • Linhas linearmente independentes significa: se existem escalares \lambda_{1},\dots,\lambda_{m} tais que
\lambda_{1}\,\text{row}_1 + \lambda_{2}\,\text{row}_2 + \cdots + \lambda_{m}\,\text{row}_m = 0,
então todos os \lambda_j são zero. Escrevendo em forma matricial, isso equivale a dizer que, se \lambda=(\lambda_{1},\dots,\lambda_{m})^{T}, então
\lambda^{T}M=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=0.
  • As colunas c_{i_{1}},\dots,c_{i_{k}} gerarem o espaço coluna de M significa exatamente que cada coluna de M é combinação linear dessas colunas selecionadas. Portanto, para cada coluna c_{j} de M existe um vetor \alpha_{j}\in\mathbb{R}^{k} tal que
c_{j}=C\,\alpha_{j}.
  • Organizando todos esses vetores \alpha_{j} como colunas, forma-se uma matriz P\in\mathbb{R}^{k\times n} dada por
P=[\alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \cdots\\ \alpha_{n}],
de modo que cada coluna de M é a correspondente coluna de C P. Em suma:
M = C\,P.
Aqui convém checar dimensões: C é m\times k, P é k\times n, logo C P é m\times n, como M.

Passo 3

Construção explícita de P e justificativa de M=C P:
  • Para as colunas que já estão em C (índices i_{1},\dots,i_{k}), escolhe-se \alpha_{i_{r}}=e_{r} (o r-ésimo vetor da base de \mathbb{R}^{k}), assim essas colunas são reproduzidas por C.
  • Para uma coluna removida c_{j} (índice j fora de \{i_{1},\dots,i_{k}\}), por hipótese de geração existe \alpha_{j} com c_{j}=C\alpha_{j}.
  • Montando todas as \alpha_{j} em P obtemos M=C P. Isso é somente a formalização da ideia: todas as colunas de M são combinações das colunas de C.

Passo 4

Usando M=C P para relacionar dependências das linhas:
  • Suponha, buscando contradição, que as linhas de C fossem linearmente dependentes. Então existe vetor \lambda=(\lambda_{1},\dots,\lambda_{m})^{T}, \lambda\neq 0, tal que
\lambda^{T}C=0.
  • Multiplicando à direita por P obtemos
\lambda^{T}M = \lambda^{T}(C P) = (\lambda^{T}C)P = 0\cdot P = 0.
  • A igualdade \lambda^{T}M=0 diz que as linhas de M são linearmente dependentes (a mesma combinação \lambda anula as linhas de M). Isso contraria a hipótese inicial de que as linhas de M são linearmente independentes.
  • Logo a suposição de dependência das linhas de C leva a contradição; portanto não existe \lambda\neq 0 com \lambda^{T}C=0.

Passo 5

Conclusão final (interpretação didática):
  • A única possibilidade é que a única combinação linear das linhas de C que dá zero seja a combinação trivial \lambda=0. Portanto as linhas de C são linearmente independentes.
  • Intuição rápida: como as colunas de C já geram todas as colunas de M, qualquer relação linear entre linhas de C se transfere para M (multiplicando pela matriz que reconstrói M a partir de C); como em M não há relações não-triviais, em C também não pode haver.

Resposta

As linhas de C são linearmente independentes.

Exercícios relacionados