Suponha que V seja um espaço vetorial com base \mathcal{B}=\left\{b_{i} \mid i \in I\right\}, e que S seja um subespaço de V. Seja \left\{\mathcal{B}_{1}, \ldots, \mathcal{B}_{k}\right\} uma partição de \mathcal{B}. É verdade que S= \bigoplus_{i=1}^{k}\left(S \cap\left\langle\mathcal{B}_{i}\right\rangle\right) ? O que acontece se S \cap\left\langle\mathcal{B}_{i}\right\rangle \neq\{0\} para todo i ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações:
  • V é um espaço vetorial com uma base \mathcal{B}=\{b_i\mid i\in I\}.
  • S é um subespaço de V.
  • \{\mathcal{B}_1,\dots,\mathcal{B}_k\} é uma partição da base \mathcal{B}. Ou seja, as \mathcal{B}_i são subconjuntos disjuntos de \mathcal{B} e a união deles é \mathcal{B}.
Perguntas do enunciado:
  1. É verdade que S=\bigoplus_{i=1}^{k}\bigl(S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle\bigr)\;?
  2. O que acontece se \;S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle\neq\{0\} para todo i (isto é, cada interseção é não trivial)?

Passo 2

Observação básica sobre a partição da base: como \mathcal{B} é base e foi particionada, vale a decomposição direta
V=\bigoplus_{i=1}^k \langle\mathcal{B}_i\rangle.
Isto significa que todo vetor v\in V escreve-se de forma única como soma
v=v_1+v_2+\cdots+v_k,
com v_i\in\langle\mathcal{B}_i\rangle para cada i. Essa unicidade é importante e é consequência direta de \mathcal{B} ser base (coordenadas únicas).
Defina para cada i a projeção canônica associada a essa decomposição:
\pi_i:V\to\langle\mathcal{B}_i\rangle, \qquad \pi_i(v)=v_i,
onde v=v_1+\cdots+v_k é a decomposição em componentes nas \langle\mathcal{B}_i\rangle. As \pi_i são aplicações lineares e \pi_i(V)=\langle\mathcal{B}_i\rangle.

Passo 3

Explicar por que a igualdade pedida pode falhar: tome v\in S. Pela decomposição de V temos v=\sum_{i=1}^k v_i com v_i=\pi_i(v)\in\langle\mathcal{B}_i\rangle. Mas nada garante que cada componente v_i pertença a S; apenas a soma pertence a S. Assim, em geral v_i\notin S, portanto v pode não ser soma de vetores de S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle. Logo, em geral não é verdade que
S=\sum_{i=1}^k\bigl(S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle\bigr),
e consequentemente não é verdade, em geral, a igualdade com soma direta.
Para tornar isso palpável, veja um exemplo simples abaixo.

Passo 4

Exemplo contra-exemplo muito simples (explicado passo a passo):
  • Tome V=\mathbb{R}^2 com a base canônica \mathcal{B}=\{e_1,e_2\}.
  • Particione em \mathcal{B}_1=\{e_1\} e \mathcal{B}_2=\{e_2\}.
  • Seja S=\langle e_1+e_2\rangle (linha gerada por e_1+e_2).
Agora calcule as interseções:
  • \;S\cap\langle\mathcal{B}_1\rangle = S\cap\langle e_1\rangle=\{0\}, porque qualquer múltiplo de e_1 tem segunda coordenada zero, mas vetores não nulos em S têm segunda coordenada igual à primeira.
  • Analogamente \;S\cap\langle\mathcal{B}_2\rangle=\{0\}.
Portanto \bigoplus_{i=1}^2 (S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle)=\{0\}, que é estritamente menor que S. Conclusão: a igualdade pedida falha aqui.

Passo 5

Observação sobre direticidade da soma das interseções: note que, para i\neq j,
\langle\mathcal{B}_i\rangle\cap\langle\mathcal{B}_j\rangle=\{0\},
pois as \mathcal{B}_i são disjuntas subpartes de uma base. Assim, para i\neq j temos
\bigl(S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle\bigr)\cap\bigl(S\cap\langle\mathcal{B}_j\rangle\bigr) \subseteq \langle\mathcal{B}_i\rangle\cap\langle\mathcal{B}_j\rangle=\{0\}.
Isto implica que as subespaços S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle são pairwise com interseção trivial, logo a soma \sum_i (S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle) é sempre uma soma direta. Em palavras: a parte “direta” da afirmação é sempre verdadeira; o problema é que a soma (mesmo direta) pode ser apenas um subespaço próprio de S.

Passo 6

Caracterização necessária e suficiente para a igualdade: usando as projeções \pi_i definidas no Passo 2, observe que para qualquer i
\pi_i(S)\subseteq \langle\mathcal{B}_i\rangle,
e sempre vale
S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle\subseteq \pi_i(S),
porque se w\in S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle então w=\pi_i(w)\in\pi_i(S). A questão é se \pi_i(S)\subseteq S; se isso acontecer então \pi_i(S)=S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle.
Portanto a condição equivalente e intuitiva é:
S=\bigoplus_{i=1}^k\bigl(S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad \text{para todo }i\text{ temos }\pi_i(S)\subseteq S.
Interpretação: a igualdade ocorre exatamente quando S é estável pelas projeções coordenadas (isto é, se para todo v\in S cada componente \pi_i(v) também pertence a S). Em termos práticos: todo vetor de S pode ser “separado” em suas componentes por blocos e cada componente já está em S.

Passo 7

Exemplo adicional que mostra que mesmo com todas as interseções não triviais a igualdade pode falhar (construção explícita):
  • Tome V=\mathbb{R}^4 com base \{e_1,e_2,e_3,e_4\}.
  • Partição: \mathcal{B}_1=\{e_1,e_2\}, \mathcal{B}_2=\{e_3,e_4\}.
  • Defina o subespaço
S=\langle e_1,\; e_3,\; e_1+e_4\rangle.
Calcule as interseções:
  • S\cap\langle\mathcal{B}_1\rangle contém e_1 (logo é não trivial).
  • S\cap\langle\mathcal{B}_2\rangle contém e_3 (logo é não trivial).
    Assim \;S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle\neq\{0\} para i=1,2. Porém \dim S=3 enquanto \dim\bigl(S\cap\langle\mathcal{B}_1\rangle\bigr)+\dim\bigl(S\cap\langle\mathcal{B}_2\rangle\bigr)=1+1=2. Logo a soma direta das interseções tem dimensão 2 e não alcança S (que tem dimensão 3). Conclusão: mesmo com todas as interseções não triviais, a igualdade pode falhar.

Passo 8

Resumo didático e dica prática para prova:
  • A afirmação geral é falsa: em geral
\bigoplus_{i=1}^k\bigl(S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle\bigr) \subseteq S,
mas essa inclusão pode ser estrita.
  • A soma à direita é sempre direta (por causa da partição da base), mas pode não gerar todo S.
  • Critério útil para verificar igualdade numa prova: construa as projeções \pi_i. Se para todo i a projeção \pi_i leva vetores de S para dentro de S (isto é, \pi_i(S)\subseteq S para todo i), então a igualdade vale; caso contrário, não vale. Em outras palavras, peça-se se S é estável pelas projeções coordenadas.

Resposta

Não, em geral não é verdade. A soma \sum_{i=1}^k (S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle) é sempre direta, mas pode ser estrita em relação a S.
Mesmo que \;S\cap\langle\mathcal{B}_i\rangle\neq\{0\} para todo i, ainda assim a igualdade pode falhar (as interseções podem ser todas não-triviais e a soma direta delas ser um subespaço próprio de S). A condição necessária e suficiente para a igualdade é que, para cada i, a projeção \pi_i (na decomposição V=\bigoplus_{i}\langle\mathcal{B}_i\rangle) satisfaça \pi_i(S)\subseteq S.

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