Suponha que
seja um espaço vetorial com base
, e que
seja um subespaço de
. Seja
uma partição de
. É verdade que
? O que acontece se
para todo
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações:
-
é um espaço vetorial com uma base . -
é um subespaço de . -
é uma partição da base . Ou seja, as são subconjuntos disjuntos de e a união deles é .
Perguntas do enunciado:
- É verdade que
- O que acontece se
para todo (isto é, cada interseção é não trivial)?
Passo 2
Observação básica sobre a partição da base: como
é base e foi particionada, vale a decomposição direta
Isto significa que todo vetor
escreve-se de forma única como soma
com
para cada
. Essa unicidade é importante e é consequência direta de
ser base (coordenadas únicas).
Defina para cada
a projeção canônica associada a essa decomposição:
onde
é a decomposição em componentes nas
. As
são aplicações lineares e
.
Passo 3
Explicar por que a igualdade pedida pode falhar: tome
. Pela decomposição de
temos
com
. Mas nada garante que cada componente
pertença a
; apenas a soma pertence a
. Assim, em geral
, portanto
pode não ser soma de vetores de
. Logo, em geral não é verdade que
e consequentemente não é verdade, em geral, a igualdade com soma direta.
Para tornar isso palpável, veja um exemplo simples abaixo.
Passo 4
Exemplo contra-exemplo muito simples (explicado passo a passo):
- Tome
com a base canônica . - Particione em
e . - Seja
(linha gerada por ).
Agora calcule as interseções:
-
, porque qualquer múltiplo de tem segunda coordenada zero, mas vetores não nulos em têm segunda coordenada igual à primeira. - Analogamente
.
Portanto
, que é estritamente menor que
. Conclusão: a igualdade pedida falha aqui.
Passo 5
Observação sobre direticidade da soma das interseções: note que, para
,
pois as
são disjuntas subpartes de uma base. Assim, para
temos
Isto implica que as subespaços
são pairwise com interseção trivial, logo a soma
é sempre uma soma direta. Em palavras: a parte “direta” da afirmação é sempre verdadeira; o problema é que a soma (mesmo direta) pode ser apenas um subespaço próprio de
.
Passo 6
Caracterização necessária e suficiente para a igualdade: usando as projeções
definidas no Passo 2, observe que para qualquer
e sempre vale
porque se
então
. A questão é se
; se isso acontecer então
.
Portanto a condição equivalente e intuitiva é:
Interpretação: a igualdade ocorre exatamente quando
é estável pelas projeções coordenadas (isto é, se para todo
cada componente
também pertence a
). Em termos práticos: todo vetor de
pode ser “separado” em suas componentes por blocos e cada componente já está em
.
Passo 7
Exemplo adicional que mostra que mesmo com todas as interseções não triviais a igualdade pode falhar (construção explícita):
- Tome
com base . - Partição:
, . - Defina o subespaço
Calcule as interseções:
-
contém (logo é não trivial). -
contém (logo é não trivial).
Assimpara . Porém enquanto . Logo a soma direta das interseções tem dimensão e não alcança (que tem dimensão ). Conclusão: mesmo com todas as interseções não triviais, a igualdade pode falhar.
Passo 8
Resumo didático e dica prática para prova:
- A afirmação geral é falsa: em geral
mas essa inclusão pode ser estrita.
- A soma à direita é sempre direta (por causa da partição da base), mas pode não gerar todo
. - Critério útil para verificar igualdade numa prova: construa as projeções
. Se para todo a projeção leva vetores de para dentro de (isto é, para todo ), então a igualdade vale; caso contrário, não vale. Em outras palavras, peça-se se é estável pelas projeções coordenadas.
Resposta
Não, em geral não é verdade. A soma
é sempre direta, mas pode ser estrita em relação a
.
Mesmo que
para todo
, ainda assim a igualdade pode falhar (as interseções podem ser todas não-triviais e a soma direta delas ser um subespaço próprio de
). A condição necessária e suficiente para a igualdade é que, para cada
, a projeção
(na decomposição
) satisfaça
.