Seja uma massa m presa a um fio de comprimento L=20 cm, movendo-se sobre uma circurferência horizontal de raio R com velocidade escalar constante v. O fic, durante seu movimento, faz um ângulo beta constante com a direção vertical. Ache a tensão no fio e o período do movimento, sabendo que ângulo beta=14^circ. (2,5 pt)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo movimento circular. Uma massa está presa a um fio de comprimento e gira em uma circunferência horizontal de raio com velocidade constante . O fio faz um ângulo constante com a vertical. Nosso objetivo é encontrar a tensão no fio e o período do movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em equilíbrio e movimento circular, além de trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças atuando na massa. Tem a força peso apontando para baixo e a tensão no fio, que está na direção do fio, fazendo um ângulo com a vertical. Como a massa está se movendo em uma circunferência, a tensão também tem uma componente horizontal que fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 3

Vamos decompor a tensão T cos beta = mg em duas componentes:
  • Componente vertical:
  • Componente horizontal:
Como a massa está em equilíbrio na vertical, a componente vertical da tensão se iguala ao peso:
Isso nos ajuda a encontrar a tensão .

Passo 4

Agora, a componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:
T sin beta = mv^2R
Aqui, é a força centrípeta que mantém a massa em movimento circular.

Passo 5

Vamos resolver a equação da componente vertical para encontrar T = mgcos beta :
Com isso, temos a expressão para a tensão no fio em termos das outras variáveis conhecidas.

Passo 6

Para encontrar o período v = 2pi RTp do movimento, precisamos relacionar a velocidade R = L sin beta com o período. Sabemos que:
R = 0,2 m times sin 14^circ
Mas antes, precisamos encontrar o raio em termos do comprimento do fio e do ângulo :
Substituindo :

Passo 7

Calculando sin 14^circ approx 0,2419 R approx 0,2 times 0,2419 = 0,04838 m :

Passo 8

Voltando à equação da força centrípeta:
T sin beta = mv^2R
Substituindo mgcos beta sin beta = mv^2R da Passo 5:
g tan beta = v^2R
Simplificando:
v = raizg R tan beta
Então:

Passo 9

Agora, substituímos v = raiz9,8 times 0,04838 times tan 14^circ e tan 14^circ approx 0,2493 v = raiz9,8 times 0,04838 times 0,2493 approx raiz0,118 approx 0,343 m/s para encontrar :

Passo 10

Finalmente, encontramos o período Tp = 2pi Rv = 2pi times 0,048380,343 approx 0,3030,343 approx 0,883 s :

Resposta

A tensão no fio é e o período do movimento é aproximadamente segundos.

Exercícios relacionados