Seja uma massa
presa a um fio de comprimento
, movendo-se sobre uma circurferência horizontal de raio
com velocidade escalar constante
. O fic, durante seu movimento, faz um ângulo
constante com a direção vertical. Ache a tensão no fio e o período do movimento, sabendo que ângulo
. (2,5 pt)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo movimento circular. Uma massa
está presa a um fio de comprimento
e gira em uma circunferência horizontal de raio
com velocidade constante
. O fio faz um ângulo constante
com a vertical. Nosso objetivo é encontrar a tensão no fio e o período do movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em equilíbrio e movimento circular, além de trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças atuando na massa. Tem a força peso
apontando para baixo e a tensão
no fio, que está na direção do fio, fazendo um ângulo
com a vertical. Como a massa está se movendo em uma circunferência, a tensão também tem uma componente horizontal que fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Passo 3
Vamos decompor a tensão
em duas componentes:
- Componente vertical:
- Componente horizontal:
Como a massa está em equilíbrio na vertical, a componente vertical da tensão se iguala ao peso:
Isso nos ajuda a encontrar a tensão
.
Passo 4
Agora, a componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:
Aqui,
é a força centrípeta que mantém a massa em movimento circular.
Passo 5
Vamos resolver a equação da componente vertical para encontrar
:
Com isso, temos a expressão para a tensão no fio em termos das outras variáveis conhecidas.
Passo 6
Para encontrar o período
do movimento, precisamos relacionar a velocidade
com o período. Sabemos que:
Mas antes, precisamos encontrar o raio
em termos do comprimento do fio
e do ângulo
:
Substituindo
:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Voltando à equação da força centrípeta:
Substituindo
da Passo 5:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Agora, substituímos
e
para encontrar
:
Passo 10
Finalmente, encontramos o período
:
Resposta
A tensão no fio é
e o período do movimento é aproximadamente
segundos.