Seja f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=1 /\left(1+a^{1 / x}\right), onde a>1. Prove que \lim _{x \rightarrow 0+} f(x)=0 e \lim _{x \rightarrow 0-} f(x)=1.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)=\frac{1}{1+a^{1/x}},\quad a>1,
e pede os limites laterais em x=0: \lim_{x\to0^+}f(x) e \lim_{x\to0^-}f(x).
O conteúdo principal é o comportamento da exponencial a^t quando t\to+\infty ou t\to-\infty.
Passo 2
Quando x\to0^+, temos
\frac{1}{x}\;\to\;+\infty.
Como a base a>1, a propriedade da exponencial diz que
a^{1/x}\;\to\;+\infty.
Passo 3
Para tornar isso rigoroso, seja \varepsilon>0. Escolha M>0 de modo que
\frac{1}{1+M}<\varepsilon.
Como a^{t}\to+\infty quando t\to+\infty, existe \delta>0 tal que, para 0<x<\delta,