1. Seja f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=1 /\left(1+a^{1 / x}\right), onde a>1. Prove que \lim _{x \rightarrow 0+} f(x)=0 e \lim _{x \rightarrow 0-} f(x)=1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{1}{1+a^{1/x}},\quad a>1,
e pede os limites laterais em x=0:
\lim_{x\to0^+}f(x) e \lim_{x\to0^-}f(x).
O conteúdo principal é o comportamento da exponencial a^t quando t\to+\infty ou t\to-\infty.

Passo 2

Quando x\to0^+, temos
\frac{1}{x}\;\to\;+\infty.
Como a base a>1, a propriedade da exponencial diz que
a^{1/x}\;\to\;+\infty.

Passo 3

Para tornar isso rigoroso, seja \varepsilon>0. Escolha M>0 de modo que
\frac{1}{1+M}<\varepsilon.
Como a^{t}\to+\infty quando t\to+\infty, existe \delta>0 tal que, para 0<x<\delta,
\frac{1}{x}>T\quad\Longrightarrow\quad a^{1/x}>M.
Logo, para 0<x<\delta,
0<f(x)=\frac{1}{1+a^{1/x}}<\frac{1}{1+M}<\varepsilon,
o que prova \lim_{x\to0^+}f(x)=0.

Passo 4

Quando x\to0^-, temos
\frac{1}{x}\;\to\;-\infty.
De novo, como a>1, segue-se que
a^{1/x}\;=\;a^{-\bigl|1/x\bigr|}\;\to\;0.

Passo 5

Para provar \lim_{x\to0^-}f(x)=1, seja \varepsilon>0. Pegue N>0 tal que
\frac{N}{1+N}<\varepsilon.
Como a^{-t}\to0 quando t\to+\infty, existe \delta>0 tal que, para -\delta<x<0,
\bigl|1/x\bigr|>T\quad\Longrightarrow\quad a^{1/x}<N.
Então, para -\delta<x<0,
\bigl|f(x)-1\bigr| =\left|\frac{1}{1+a^{1/x}}-1\right| =\frac{a^{1/x}}{1+a^{1/x}} <\frac{N}{1+N} <\varepsilon,
confirmando \lim_{x\to0^-}f(x)=1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=0 e \displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=1.

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