1. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(0)=0 e f(x)=\operatorname{sen}(1 / x) se x \neq 0. Mostre que para todo c \in[-1,1] existe uma seqüência de pontos x_{n} \neq 0 tais que \lim x_{n}=0 e \lim f\left(x_{n}\right)=c.

Passo 1

O enunciado define f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} por
f(0)=0,
f(x)=\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)\quad\text{se }x\neq0,
e pede que, dado qualquer c\in[-1,1], a gente encontre uma sequência x_n\neq0 com \lim x_n=0 e \lim f(x_n)=c. Para isso vamos usar dois fatos chave da função \sin: ela é periódica de período 2\pi e atinge todo valor em [-1,1].

Passo 2

Seja c\in[-1,1]. Pela sobrejetividade de \sin no intervalo [-1,1], existe
a = \arcsin\text{(c)}\in\Bigl[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\Bigr]
tal que
\sin(a)=c.

Passo 3

Agora usamos a periodicidade de \sin. Definimos, para cada n\in\mathbb{N},
x_n = \frac{1}{\,a + 2\pi n\,}.
Note que a+2\pi n\neq0 para todo n, então x_n\neq0. Além disso, à medida que n\to\infty, o denominador a+2\pi n\to+\infty, logo
\lim_{n\to\infty}x_n = 0.

Passo 4

Finalmente, para cada n temos
f(x_n) = \sin\Bigl(\tfrac1{x_n}\Bigr) = \sin\bigl(a + 2\pi n\bigr) = \sin(a) = c.
Isso mostra que a sequência f(x_n) é constante igual a c, logo
\lim_{n\to\infty}f(x_n) = c.

Resposta

Para cada c\in[-1,1], a sequência
x_n = \frac{1}{\,\arcsin\text{(c)} + 2\pi n\,}
satisfaz x_n\neq0, \lim x_n=0 e \lim f(x_n)=c.

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