- Seja
definida por
e
se
. Mostre que para todo
existe uma seqüência de pontos
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado define
por
e pede que, dado qualquer
, a gente encontre uma sequência
com
e
. Para isso vamos usar dois fatos chave da função
: ela é periódica de período
e atinge todo valor em
.
Passo 2
Seja
. Pela sobrejetividade de
no intervalo
, existe
tal que
Passo 3
Agora usamos a periodicidade de
. Definimos, para cada
,
Note que
para todo
, então
. Além disso, à medida que
, o denominador
, logo
Passo 4
Finalmente, para cada
temos
Isso mostra que a sequência
é constante igual a
, logo
Resposta
Para cada
, a sequência
satisfaz
,
e
.