- Prove que
(respectivamente,
se, e somente se, para toda seqüência decrescente (respectivamente, crescente) de pontos
tem-se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a definição
–
de
é equivalente à condição sequencial: “para toda sequência decrescente
com
e
vale
”. O conteúdo usado será a definição de limite unilateral via
–
e o método de prova por contradição para a recíproca.
Passo 2
Prova de “
–
sequencial”. Suponha que
Então, dado
, existe
tal que, sempre que
e
temos
Agora seja
uma sequência decrescente com
e
. Como
, existe
tal que, para todo
,
Pelo critério
–
segue
para
, logo
.
Passo 3
Prova de “sequencial
–
”. Suponha agora que toda sequência decrescente
com
satisfaz
, mas que a condição
–
falha. Então existe
tal que, para todo
, podemos achar um
com
A sequência
é decrescente (ou, pelo menos, convergente para
com
) e
, mas
impede
. Isso contradiz a hipótese sequencial, logo a definição
–
deve valer.
Passo 4
O mesmo raciocínio funciona para
substituindo “decrescente” por “crescente” e usando
.
Resposta
Fica provado que
se, e somente se, toda sequência decrescente (resp. crescente)
com
satisfaz
.