1. Prove que \lim _{x \rightarrow a+} f(x)=L (respectivamente, \lim _{x \rightarrow a-} f(x)= L) se, e somente se, para toda seqüência decrescente (respectivamente, crescente) de pontos x_{n} \in X \operatorname{com} \lim x_{n}=a tem-se \lim f\left(x_{n}\right)=L.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a definição \epsilon \delta de
\lim_{x\to a+}f(x)=L
é equivalente à condição sequencial: “para toda sequência decrescente (x_n)\subset X com \lim x_n=a e x_n>a vale \lim f(x_n)=L”. O conteúdo usado será a definição de limite unilateral via \epsilon \delta e o método de prova por contradição para a recíproca.

Passo 2

Prova de “ \epsilon \delta\Rightarrow sequencial”. Suponha que
\lim_{x\to a+}f(x)=L.
Então, dado \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que x\in X e
0< x - a < \delta,
temos
|f(x)-L|<\varepsilon.
Agora seja (x_n)\subset X uma sequência decrescente com x_n>a e \lim x_n=a. Como x_n-a\to0, existe N tal que, para todo n\ge N,
0< x_n - a < \delta.
Pelo critério \epsilon \delta segue |f(x_n)-L|<\varepsilon para n\ge N, logo \lim_{n\to\infty}f(x_n)=L.

Passo 3

Prova de “sequencial \Rightarrow\epsilon \delta”. Suponha agora que toda sequência decrescente (x_n)\subset X com \lim x_n=a satisfaz \lim f(x_n)=L, mas que a condição \epsilon \delta falha. Então existe \varepsilon_{0}>0 tal que, para todo k\in\mathbb{N}, podemos achar um x_k\in X com
0< x_k - a < \tfrac1k \quad\text{e}\quad |f(x_k)-L|\ge\varepsilon_{0}.
A sequência (x_k) é decrescente (ou, pelo menos, convergente para a com x_k>a) e \lim x_k=a, mas |f(x_k)-L|\ge\varepsilon_{0} impede \lim f(x_k)=L. Isso contradiz a hipótese sequencial, logo a definição \epsilon \delta deve valer.

Passo 4

O mesmo raciocínio funciona para
\lim_{x\to a-}f(x)=L
substituindo “decrescente” por “crescente” e usando a - x_n\to0.

Resposta

Fica provado que
\lim_{x\to a+}f(x)=L \quad(\text{resp. }\lim_{x\to a-}f(x)=L)
se, e somente se, toda sequência decrescente (resp. crescente) (x_n)\subset X com \lim x_n=a satisfaz \lim f(x_n)=L.

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