Seja f: \mathbb{R} \backslash\{-1,-4\} \rightarrow \mathbb{R} tal que
f(x)=\frac{\left|x^{2}+x-12\right|}{x^{2}+5 x+4}
Esboce o gráfico de f e calcule
\lim _{x \rightarrow-4^{+}} f(x) \text { e } \lim _{x \rightarrow-4^{-}} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função definida em \mathbb{R}\setminus\{-1,-4\}:
f(x)=\frac{\left|x^{2}+x-12\right|}{x^{2}+5x+4}
As perguntas são:
  • Esboçar o gráfico de f.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to-4^{+}} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to-4^{-}} f(x).
Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
  • O numerador tem um valor absoluto: \left|x^{2}+x-12\right|.
  • O denominador pode ser fatorado como x^{2}+5x+4=(x+1)(x+4).
  • O domínio exclui x=-1 e x=-4 (pontos onde o denominador se anula).

Passo 2

Fatorar numerador e denominador para entender a expressão:
x^{2}+x-12=(x+4)(x-3), \qquad x^{2}+5x+4=(x+1)(x+4).
Substituindo na função:
f(x)=\frac{|(x+4)(x-3)|}{(x+1)(x+4)}=\frac{|x+4||x-3|}{(x+1)(x+4)}.
Agora observe o factor |x+4|/(x+4)\). Esse quociente depende do sinal de \(x+4\): \[\frac{|x+4|}{x+4}= \begin{cases} 1, & x>-4,\\[4pt] -1, & x<-4. \end{cases}
Logo podemos simplificar f\] em duas fórmulas, uma para cada lado de \(-4.]

Passo 3

Escrevendo f\) em forma piecewise usando a observação anterior: \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{|x-3|}{x+1}, & x>-4,\\ x\neq -1,\\[6pt] -\dfrac{|x-3|}{x+1}, & x<-4. \end{cases}
Explicação rápida do que fiz: o fator |x+4|\] “cancela” com \(x+4 deixando o sinal \pm1 conforme x+4 for positivo ou negativo. Isso gera a mudança de sinal no ramo à esquerda de -4.]

Passo 4

Para entender melhor o gráfico, quebremos também |x-3|\) em função do sinal (ponto crítico \(x=3\)): \[|x-3|= \begin{cases} 3-x, & x<3,\\[4pt] x-3, & x\ge 3. \end{cases}
Agora descrevemos (f] em intervalos convenientes:
  1. Para x<-4 (então x+1<0 e x<3):
f(x)=-\dfrac{|x-3|}{x+1}=-\dfrac{3-x}{x+1}.
Aqui o numerador 3-x>0, denominador x+1<0, então \dfrac{3-x}{x+1}<0 e com o sinal negativo global temos f(x)>0.
  1. Para -4<x<-1 (então x+1<0 e x<3):
f(x)=\dfrac{|x-3|}{x+1}=\dfrac{3-x}{x+1},
onde numerador positivo e denominador negativo ⇒ f(x)<0.
  1. Para -1<x<3 (então x+1>0 e x<3):
f(x)=\dfrac{3-x}{x+1},
aqui numerador positivo e denominador positivo ⇒ f(x)>0.
  1. Para x\ge 3 (e x\neq -1 óbvio):
f(x)=\dfrac{x-3}{x+1},
numerador e denominador positivos para x>3 f(x)>0; em x=3 temos f(3)=0.
Pontos e assíntotas importantes (que constatamos):
  • x=-1 faz denominador zero e numerador não zero ( |(-1)^2+(-1)-12|=12), logo x=-1 é assíntota vertical.
  • x=3 zera o numerador, então f(3)=0 (ponto no gráfico).
  • Comportamento quando |x|\to\infty: \displaystyle f(x)\to 1 (assíntota horizontal y=1), pois grau do numerador e denominador são ambos 2 e os coeficientes principais são iguais.]

Passo 5

Análise do comportamento perto de x=-1 (vertical):
Usando as fórmulas nos intervalos:
  • Para x\to -1^{-} estamos em -4<x<-1 e f(x)=\dfrac{3-x}{x+1}. O numerador tende a 3-(-1)=4 e o denominador tende a 0^{-}, logo
\lim_{x\to-1^{-}} f(x) = -\infty.
  • Para x\to -1^{+} estamos em -1<x<3 com a mesma expressão \dfrac{3-x}{x+1} mas agora x+1\to 0^{+}, logo
\lim_{x\to-1^{+}} f(x) = +\infty.
Portanto x=-1 é assíntota vertical com sinais opostos nos lados.

Passo 6

Calcular os limites pedidos em -4 usando as expressões piecewise:
Para x\to -4^{+} (vindo da direita, x>-4) usamos f(x)=\dfrac{|x-3|}{x+1}. Substituindo x=-4 na expressão contínua:
\lim_{x\to-4^{+}} f(x)=\frac{|{-4}-3|}{-4+1}=\frac{7}{-3}=-\tfrac{7}{3}.
Para x\to -4^{-} (vindo da esquerda, x<-4) usamos f(x)=-\dfrac{|x-3|}{x+1}. Substituindo x=-4:
\lim_{x\to-4^{-}} f(x)=-\frac{|{-4}-3|}{-4+1}=-\frac{7}{-3}=+\tfrac{7}{3}.
Conclusão: os dois limites laterais existem mas são diferentes; há uma descontinuidade tipo salto em x=-4.

Passo 7

Como esboçar o gráfico (instruções e pontos-chave para desenhar à mão):
  • Para x<-4: desenhar a curva dada por -\dfrac{3-x}{x+1}. Essa curva é positiva ali, aproxima-se de y=1 quando x\to-\infty e atinge \displaystyle \lim_{x\to-4^-} f(x)=\tfrac{7}{3} ao aproximar de -4 pela esquerda.
  • Em x=-4 não há ponto definido (domínio exclui), e os dois lados têm alturas diferentes: esquerda \tfrac{7}{3}, direita -\tfrac{7}{3}.
  • Para -4<x<-1: a curva é dada por \dfrac{3-x}{x+1} e é negativa; ao aproximar x\to-1^{-} cai para -\infty.
  • Em x=-1 há assíntota vertical; vindo da direita ( -1^{+}) a função vai para +\infty.
  • Para -1<x<3: a mesma fórmula \dfrac{3-x}{x+1} agora é positiva, decresce até f(3)=0.
  • Para x>3: usar \dfrac{x-3}{x+1}, função positiva, parte de 0 em x=3 e tende para 1 quando x\to+\infty.
  • Assíntota horizontal para y=1 em ambas as extremidades.
Com esses pontos e comportamentos (valores em -\infty, saltos em -4, assíntota em -1, zero em 3, e y\to1 no infinito) tem-se o esboço completo do gráfico.

Resposta

Esboço: gráfico com salto em x=-4 (valores-limite \tfrac{7}{3} pela esquerda e -\tfrac{7}{3} pela direita), assíntota vertical em x=-1 (limites -\infty à esquerda e +\infty à direita), ponto f(3)=0 e assíntota horizontal y=1 quando |x|\to\infty.
\displaystyle \lim_{x\to-4^{+}} f(x) = -\tfrac{7}{3}
\displaystyle \lim_{x\to-4^{-}} f(x) = \tfrac{7}{3}

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