e pede: determinar a\in\mathbb{R} e b\in\mathbb{R} tais que \lim_{x\to-1}f(x) exista e calcular o valor desse limite.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão da função à esquerda de -1 é \dfrac{x^{2}+a x-4}{x+1}.
O valor da função exatamente em x=-1 é 12.
A expressão da função à direita de -1 é 3x^{2}+b x+1.
O que se quer é achar a e b para que o limite em x=-1 exista (isto é, o limite pela esquerda e o limite pela direita sejam iguais) e então encontrar esse valor.]
Passo 2
Entendimento do que significa “limite existir” aqui (passo didático rápido). Quando uma função é dada por partes com um ponto de separação em x=-1, a condição para existir \lim_{x\to-1}f(x) é que os limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to-1^-}f(x)=\lim_{x\to-1^+}f(x).
Vou calcular primeiro \lim_{x\to-1^-}f(x) usando a expressão para x<-1 e depois \lim_{x\to-1^+}f(x) usando a expressão para x>-1. Em seguida igualo os dois para obter a e b.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to-1^-}f(x).
Para x<-1 vale \displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+a x-4}{x+1}. Ao tentar passar x\to-1 neste quociente, o denominador x+1 tende a 0. Para que o limite seja finito (removível) é preciso que o numerador também se anule em x=-1; caso contrário o limite tende para infinito ou não existe finitamente.
A condição para o numerador se anular em x=-1 é
(-1)^{2}+a(-1)-4=0.
Calculando,
1 - a - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad -3 - a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -3.
Passo 4
Com a=-3, fatoro o numerador para simplificar o quociente e obter o limite. Substituindo:
Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to-1^+}f(x).
Para x>-1 temos f(x)=3x^{2}+b x+1, que é um polinômio contínuo. Para limites de polinômios basta substituir o ponto:
\lim_{x\to-1^+}f(x)=3(-1)^{2}+b(-1)+1 = 3 - b + 1 = 4 - b.
Passo 6
Igualando os limites laterais para que o limite em x=-1 exista:
\lim_{x\to-1^-}f(x)=\lim_{x\to-1^+}f(x)
-5 = 4 - b.
Resolvo para b:
4 - b = -5 \quad\Rightarrow\quad -b = -9 \quad\Rightarrow\quad b = 9.
Passo 7
Conclusão e interpretação final (didática e encorajamento). Encontramos a=-3 e b=9. Com esses valores os limites laterais coincidem e valem -5. Observação extra (útil na prova): o valor da função em x=-1 é 12, diferente do limite -5, logo a função não é contínua em x=-1; mas a pergunta pedia apenas a existência do limite, não continuidade.