Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) onde \[f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-2 x-15}{x-5}, & \text { se } x<5 \\\\ 0, & \text { se } x=5 \\\\ -2 x^{2}+a x+7, & \text { se } x>5\end{cases}
Obtenha a \in \mathbb{R}\] tal que \(\lim _{x \rightarrow 5} f(x) exista e calcule o seu valor.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\): \[f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}-2 x-15}{x-5}, & \text{se } x<5,\\[6pt] 0, & \text{se } x=5,\\[6pt] -2 x^{2}+a x+7, & \text{se } x>5.\end{cases}
O que é pedido:
  • Determinar a\in\mathbb{R}\] tal que \(\lim_{x\to 5} f(x) exista.
  • Calcular o valor desse limite.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão da função para x<5 é \dfrac{x^{2}-2x-15}{x-5}.
  • A função tem valor 0 exatamente em x=5.
  • A expressão da função para x>5 é -2x^{2}+ax+7.]

Passo 2

Conceito principal necessário (explicado devagar): para que \lim_{x\to 5} f(x) exista, os limites lateral à esquerda e à direita devem existir e ser iguais. Ou seja, deve valer
\lim_{x\to 5^-} f(x)=\lim_{x\to 5^+} f(x).
Aqui \lim_{x\to 5^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x tende a 5 vindo de números menores que 5, e \lim_{x\to 5^+} f(x) é o valor vindo de números maiores que 5.
Observação importante: o valor real f(5)=0 não influencia a existência do limite; o limite depende só do comportamento quando x se aproxima de 5, não do valor no próprio ponto.
Estratégia concreta: calcular separadamente
\lim_{x\to 5^-} f(x) usando a expressão para x<5 e \lim_{x\to 5^+} f(x) usando a expressão para x>5, igualar os dois e resolver para a.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 5^-} f(x).
Primeiro simplificar a expressão para x<5:
x^{2}-2x-15 = (x-5)(x+3),
pois (x-5)(x+3)=x^2+3x-5x-15=x^2-2x-15.
Portanto, para x\neq 5 (em particular para x<5) a fração simplifica:
\frac{x^{2}-2x-15}{x-5} = \frac{(x-5)(x+3)}{x-5} = x+3.
Assim, perto de 5 pela esquerda a função coincide com x+3. Logo
\lim_{x\to 5^-} f(x)=\lim_{x\to 5} (x+3).
Agora usar a propriedade de limites de polinômios (que se obtém por substituição):
\lim_{x\to 5} (x+3)=5+3=8.
Portanto \lim_{x\to 5^-} f(x)=8.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 5^+} f(x).
Para x>5 temos f(x)=-2x^{2}+ax+7, que é um polinômio em x. O limite lateral pela direita é o valor do polinômio em x=5:
\lim_{x\to 5^+} f(x) = -2\cdot 5^{2} + a\cdot 5 + 7.
Calcular os termos:
-2\cdot 5^{2} = -2\cdot 25 = -50,
então
\lim_{x\to 5^+} f(x) = -50 + 5a + 7 = 5a -43.

Passo 5

Impor igualdade para que o limite exista:
\lim_{x\to 5^-} f(x)=\lim_{x\to 5^+} f(x).
Substituindo os valores encontrados:
8 = 5a - 43.
Resolver para a:
8+43 = 5a \quad\Rightarrow\quad 51 = 5a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{51}{5}.
Com esse valor de a, os dois limites laterais valem ambos 8, portanto o limite \lim_{x\to 5} f(x) existe e é 8.

Resposta

a=\dfrac{51}{5}
\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=8

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