Seja
Obtenha
exista e calcule o seu valor.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes
O que é pedido:
- Determinar exista.
- Calcular o valor desse limite.
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão da função para
é . - A função tem valor
exatamente em . - A expressão da função para
é .]
Passo 2
Conceito principal necessário (explicado devagar): para que
exista, os limites lateral à esquerda e à direita devem existir e ser iguais. Ou seja, deve valer
Aqui
é o valor que
se aproxima quando
tende a
vindo de números menores que
, e
é o valor vindo de números maiores que
.
Observação importante: o valor real
não influencia a existência do limite; o limite depende só do comportamento quando
se aproxima de
, não do valor no próprio ponto.
Estratégia concreta: calcular separadamente
usando a expressão para
e
usando a expressão para
, igualar os dois e resolver para
.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro simplificar a expressão para
:
pois
.
Portanto, para
(em particular para
) a fração simplifica:
Assim, perto de
pela esquerda a função coincide com
. Logo
Agora usar a propriedade de limites de polinômios (que se obtém por substituição):
Portanto
.
Passo 4
Calcular
.
Para
temos
, que é um polinômio em
. O limite lateral pela direita é o valor do polinômio em
:
Calcular os termos:
então
Passo 5
Impor igualdade para que o limite exista:
Substituindo os valores encontrados:
Resolver para
:
Com esse valor de
, os dois limites laterais valem ambos
, portanto o limite
existe e é
.