Seja V=\mathbb{R}^{2} :
Definamos \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(3 y_{1}+3 y_{2},-x_{1}-x_{2}\right) e c\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(3 c y_{1},-c x_{1}\right) \operatorname{com} c \in \mathbb{R}. Verificar que V com essas operações não é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado define o conjunto V=\mathbb{R}^2 com operações não usuais: para (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in V
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (3y_1+3y_2,\,-x_1-x_2)
e para c\in\mathbb{R}
c\,(x_1,y_1) = (3c\,y_1,\,-c\,x_1).
Para ser espaço vetorial real, entre outros axiomas, deve existir um elemento neutro aditivo 0_V\in V tal que, para todo v\in V, v+0_V=v. Vamos verificar se esse axioma se mantém.

Passo 2

Suponha que exista 0_V=(e_1,e_2) em V tal que, para todo (x,y)\in V,
(x,y)+(e_1,e_2) \;=\;(x,y).
Pelo definido,
(x,y)+(e_1,e_2) = \bigl(3y+3e_2,\,-x-e_1\bigr).
Para que isso seja igual a (x,y) para todo x,y, devemos ter simultaneamente
  1. 3y+3e_2 = x para todo x,y.
  2. -x - e_1 = y para todo x,y.

Passo 3

Da condição 3y+3e_2 = x vemos que o lado esquerdo não depende de x, mas o direito sim. Não existe escolha de e_2 que satisfaça essa igualdade para todos os pares (x,y). Logo não existe elemento neutro aditivo em V.

Resposta

Como falha a existência do elemento neutro aditivo, V com essas operações não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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