Seja
:
Definamos
e
. Verificar que
com essas operações não é um espaço vetorial real.
Definamos
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com operações não usuais: para
e para
Para ser espaço vetorial real, entre outros axiomas, deve existir um elemento neutro aditivo
tal que, para todo
,
. Vamos verificar se esse axioma se mantém.
Passo 2
Suponha que exista
em
tal que, para todo
,
Pelo definido,
Para que isso seja igual a
para todo
, devemos ter simultaneamente
-
para todo . -
para todo .
Passo 3
Da condição
vemos que o lado esquerdo não depende de
, mas o direito sim. Não existe escolha de
que satisfaça essa igualdade para todos os pares
. Logo não existe elemento neutro aditivo em
.
Resposta
Como falha a existência do elemento neutro aditivo,
com essas operações não é um espaço vetorial sobre
.