Seja V=\mathbb{R}^{2} :
Definamos \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) e c\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(5 c x_{1}, 5 c y_{1}\right) \operatorname{com} c \in \mathbb{R}. Mostre que todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, menos dois deles.

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^2 a soma usual
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e a multiplicação por escalar não usual
c\,(x_1,y_1)=(5c\,x_1,\;5c\,y_1),
para todo c\in\mathbb{R}. Queremos verificar todos os axiomas de espaço vetorial e identificar quais dois não são satisfeitos.

Passo 2

Verificamos os axiomas relativos à soma em V:
  1. Fechamento: a soma de dois pares em \mathbb{R}^2 permanece em \mathbb{R}^2.
  2. Comutatividade: (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_2+x_1,y_2+y_1)=(x_2,y_2)+(x_1,y_1).
  3. Associatividade: segue da associatividade da soma real.
  4. Elemento neutro: (0,0) satisfaz (x,y)+(0,0)=(x,y).
  5. Inverso aditivo: para (x,y) o inverso é (-x,-y).
    Logo, todos os axiomas de soma são satisfeitos.

Passo 3

Agora testamos os axiomas de multiplicação escalar que de fato funcionam:
  1. Fechamento: 5c\,x e 5c\,y são reais.
  2. Distributividade em relação à soma de vetores:
c\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) =c(x_1+x_2,y_1+y_2) =(5c(x_1+x_2),5c(y_1+y_2))
=(5cx_1,5cy_1)+(5cx_2,5cy_2) =c(x_1,y_1)+c(x_2,y_2).
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
(c+d)(x,y) =(5(c+d)x,5(c+d)y) =(5cx+5dx,5cy+5dy) =c(x,y)+d(x,y).
Portanto, esses três axiomas são satisfeitos.

Passo 4

Restam dois axiomas de multiplicação escalar:
  1. Associatividade de escalares: deveria valer (c d)(x,y)=c\bigl(d(x,y)\bigr).
    O lado esquerdo é (cd)(x,y)=(5(cd)x,5(cd)y)=(5cd\,x,5cd\,y),
    enquanto o lado direito é
c\bigl(5d\,x,5d\,y\bigr) =(5c\cdot5d\,x,\;5c\cdot5d\,y) =(25cd\,x,25cd\,y),
que não coincide com (5cd\,x,5cd\,y) em geral. Logo, falha esse axioma.
  1. Elemento neutro escalar: deveria valer 1\,(x,y)=(x,y).
    Mas
1\,(x,y)=(5\cdot1\,x,5\cdot1\,y)=(5x,5y)\neq(x,y)
para vetores não nulos. Logo, falha também.

Resposta

Os dois axiomas que não são satisfeitos são:
– a compatibilidade (associatividade) da multiplicação escalar, e
– a existência de elemento neutro 1 para a multiplicação escalar.

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