Seja
:
Definamos
e
. Mostre que todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, menos dois deles.
Definamos
Passo 1
O enunciado define em
a soma usual
e a multiplicação por escalar não usual
para todo
. Queremos verificar todos os axiomas de espaço vetorial e identificar quais dois não são satisfeitos.
Passo 2
Verificamos os axiomas relativos à soma em
:
- Fechamento: a soma de dois pares em
permanece em . - Comutatividade:
. - Associatividade: segue da associatividade da soma real.
- Elemento neutro:
satisfaz . - Inverso aditivo: para
o inverso é .
Logo, todos os axiomas de soma são satisfeitos.
Passo 3
Agora testamos os axiomas de multiplicação escalar que de fato funcionam:
- Fechamento:
e são reais. - Distributividade em relação à soma de vetores:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
Portanto, esses três axiomas são satisfeitos.
Passo 4
Restam dois axiomas de multiplicação escalar:
- Associatividade de escalares: deveria valer
.
O lado esquerdo é,
enquanto o lado direito é
que não coincide com
em geral. Logo, falha esse axioma.
- Elemento neutro escalar: deveria valer
.
Mas
para vetores não nulos. Logo, falha também.
Resposta
Os dois axiomas que não são satisfeitos são:
– a compatibilidade (associatividade) da multiplicação escalar, e
– a existência de elemento neutro para a multiplicação escalar.
– a compatibilidade (associatividade) da multiplicação escalar, e
– a existência de elemento neutro