Escreva as matrizes A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 3} e B=\left(b_{i j}\right)_{3 \times 3}, definidas do seguinte modo: a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}i^{j}, \text { se } \quad i=j \\\ \frac{i}{j}, \quad \text { se } \quad i \neq j\end{array} \quad\right. e b_{i j}=\left\{\begin{array}{l}i^{2}+j, \text { se } \quad i=j \\\ \frac{i}{j+1}, \quad \text { se } \quad i \neq j\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para escrever explicitamente duas matrizes cujas entradas são definidas por casos dependendo de i e j. O conteúdo é aplicação direta de definições de entradas matriciais por partes (piecewise). Para resolver, basta listar cada par (i,j) e aplicar a fórmula
a_{ij} = \begin{cases} i^j, & i=j,\\\ \frac{i}{j}, & i\neq j, \end{cases} \qquad b_{ij} = \begin{cases} i^2 + j, & i=j,\\\ \frac{i}{j+1}, & i\neq j. \end{cases}
e depois montar as matrizes de dimensão correta.

Passo 2

Vamos calcular todas as entradas de A=(a_{ij})_{2\times3} para i=1,2 e j=1,2,3: i=1:
  • j=1: i=j, logo a_{11}=1^1=1.
  • j=2: i\neq j, logo a_{12}=\frac{1}{2}.
  • j=3: i\neq j, logo a_{13}=\frac{1}{3}. i=2:
  • j=1: i\neq j, logo a_{21}=\frac{2}{1}=2.
  • j=2: i=j, logo a_{22}=2^2=4.
  • j=3: i\neq j, logo a_{23}=\frac{2}{3}.
Assim,
A = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & \tfrac13\\\\ 2 & 4 & \tfrac23 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos as entradas de B=(b_{ij})_{3\times3} para i=1,2,3 e j=1,2,3: i=1:
  • j=1: i=j, logo b_{11}=1^2+1=2.
  • j=2: i\neq j, logo b_{12}=\frac{1}{2+1}=\tfrac13.
  • j=3: i\neq j, logo b_{13}=\frac{1}{3+1}=\tfrac14. i=2:
  • j=1: i\neq j, logo b_{21}=\frac{2}{1+1}=1.
  • j=2: i=j, logo b_{22}=2^2+2=6.
  • j=3: i\neq j, logo b_{23}=\frac{2}{3+1}=\tfrac12. i=3:
  • j=1: i\neq j, logo b_{31}=\frac{3}{1+1}=\tfrac32.
  • j=2: i\neq j, logo b_{32}=\frac{3}{2+1}=1.
  • j=3: i=j, logo b_{33}=3^2+3=12.
Portanto,
B = \begin{pmatrix} 2 & \tfrac13 & \tfrac14\\\\ 1 & 6 & \tfrac12\\\ \tfrac32 & 1 & 12 \end{pmatrix}.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & \tfrac13\\\\ 2 & 4 & \tfrac23 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & \tfrac13 & \tfrac14\\\\ 1 & 6 & \tfrac12\\\ \tfrac32 & 1 & 12 \end{pmatrix}.

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