Questão 2 Seja
. Definamos:
Mostre que
munido dessas operações é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre que o conjunto
, equipado com as operações
e
é um espaço vetorial sobre
.
Informações relevantes dadas:
A “adição” está definida por
com produto coordenada a coordenada.
A multiplicação por escalar está definida por elevar cada coordenada a potência .
Preciso verificar todas as propriedades necessárias para que seja um espaço vetorial sobre
.
A multiplicação por escalar está definida por elevar cada coordenada a potência
Preciso verificar todas as propriedades necessárias para que
Passo 2
Primeira observação útil (motivação, sem pular etapas): para
a função
é bem definida e transforma produto em soma; a exponenciação transforma soma em potência. Vou usar propriedades elementares de logaritmo e potências quando necessário, e também vou mostrar uma maneira conceitual via isomorfismo com
. Antes disso, começo verificando propriedades básicas de fechamento e existência dos elementos neutro e inverso.
Fechamento da adição: se
então
e
. Assim
e
. Portanto
Fechamento da multiplicação por escalar: se
e
então
e
(potência de número positivo é positiva). Logo
Passo 3
Mostro agora o elemento neutro para
e o inverso aditivo.
Elemento neutro: quero
tal que
para todo
. Se eu escrever
então
para todo
. Isso implica
e
. Portanto o neutro é
. Verificação direta:
Inverso aditivo: dado
procuro
tal que
. Isso exige
e
, ou seja
e
. Como
temos
. Logo o inverso de
é
pois
.
Passo 4
Agora verifico propiedades algébricas de
(associatividade e comutatividade), usando propriedades usuais do produto real.
Comutatividade de
:
pois
e
.
Associatividade de
: para
,
e
Os dois lados coincidem porque a multiplicação real é associativa. Portanto
é associativa.
Com isso
é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro
, inversos, comutatividade).
Passo 5
Agora verifico as propriedades que envolvem a multiplicação por escalar (as que restam dos axiomas de espaço vetorial). Vou usar regras elementares de potências: para
e
valem
todas propriedades clássicas de expoentes (válidas para base positiva).
Verifico cada axioma:
- Compatibilidade
:
e
Como
, os dois lados coincidem.
- Identidade escalar
:
- Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
.
Calculo o lado esquerdo:
Usando
obtemos
isto é o lado direito.
- Distributividade do escalar sobre soma de escalares:
.
Calculo:
Portanto todas as propriedades envolvendo escalares são satisfeitas.
Passo 6
Resumo conceitual curto (para você internalizar): todas as propriedades de espaço vetorial seguem diretamente das propriedades elementares de multiplicação e de exponentes para números positivos. Uma maneira compacta de ver isso é notar que a aplicação
é bijetora (pois a inversa é
) e transforma as operações dadas em operações usuais de
:
Logo
é um isomorfismo linear entre
e o espaço vetorial usual
. Sendo
um espaço vetorial,
também é.
Passo 7
Comentário prático para a prova (o que memorizo): o vetor nulo em
é
. O oposto/aditivo de
é
. A verificação das demais propriedades é feita aplicando as leis de potências e de produto que já usamos acima. Se for pedido, mostre uma das propriedades elementares como exemplo (por exemplo distributividade) como eu fiz no Passo 5.