Questão 2 Seja V=\left\{(a, b) \mathbb{R}^{2} ; a, b>0\right\}. Definamos:
(a, b) \oplus(c, d)=(a c, b d) \text { e } \alpha(a, b)=\left(a^{\alpha}, b^{\alpha}\right) ; \forall \alpha \in \mathbb{R}
Mostre que V munido dessas operações é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre que o conjunto V=\{(a,b)\in\mathbb{R}^2 \mid a,b>0\}, equipado com as operações
(a,b)\oplus(c,d) = (ac,bd)
e
\alpha (a,b) = (a^{\alpha},b^{\alpha})\quad \forall \alpha\in\mathbb{R},
é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Informações relevantes dadas:
V=\{(a,b)\in\mathbb{R}^2 \mid a>0,\; b>0\}.
A “adição” está definida por \oplus com produto coordenada a coordenada.
A multiplicação por escalar está definida por elevar cada coordenada a potência \alpha.
Preciso verificar todas as propriedades necessárias para que V seja um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Primeira observação útil (motivação, sem pular etapas): para a>0 a função a\mapsto\ln a é bem definida e transforma produto em soma; a exponenciação transforma soma em potência. Vou usar propriedades elementares de logaritmo e potências quando necessário, e também vou mostrar uma maneira conceitual via isomorfismo com \mathbb{R}^2. Antes disso, começo verificando propriedades básicas de fechamento e existência dos elementos neutro e inverso.
Fechamento da adição: se (a,b),(c,d)\in V então a>0,c>0 e b>0,d>0. Assim ac>0 e bd>0. Portanto
(a,b)\oplus(c,d)=(ac,bd)\in V.
Fechamento da multiplicação por escalar: se (a,b)\in V e \alpha\in\mathbb{R} então a^{\alpha}>0 e b^{\alpha}>0 (potência de número positivo é positiva). Logo
\alpha(a,b)=(a^{\alpha},b^{\alpha})\in V.

Passo 3

Mostro agora o elemento neutro para \oplus e o inverso aditivo.
Elemento neutro: quero \mathbf{0}_V\in V tal que (a,b)\oplus\mathbf{0}_V=(a,b) para todo (a,b)\in V. Se eu escrever \mathbf{0}_V=(e_1,e_2) então
(a,b)\oplus(e_1,e_2)=(a e_1, b e_2)=(a,b)
para todo a,b>0. Isso implica e_1=1 e e_2=1. Portanto o neutro é (1,1)\in V. Verificação direta:
(a,b)\oplus(1,1)=(a\cdot1,b\cdot1)=(a,b).
Inverso aditivo: dado (a,b)\in V procuro (x,y)\in V tal que (a,b)\oplus(x,y)=(1,1). Isso exige ax=1 e by=1, ou seja x=a^{-1} e y=b^{-1}. Como a,b>0 temos a^{-1},b^{-1}>0. Logo o inverso de (a,b) é
-(a,b)=(a^{-1},b^{-1}),
pois (a,b)\oplus(a^{-1},b^{-1})=(1,1).

Passo 4

Agora verifico propiedades algébricas de \oplus (associatividade e comutatividade), usando propriedades usuais do produto real.
Comutatividade de \oplus:
(a,b)\oplus(c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)\oplus(a,b),
pois ac=ca e bd=db.
Associatividade de \oplus: para (a,b),(c,d),(e,f)\in V,
\big((a,b)\oplus(c,d)\big)\oplus(e,f)=(ac,bd)\oplus(e,f)=(ac\cdot e,\, bd\cdot f)=(a(c e),\, b(d f))
e
(a,b)\oplus\big((c,d)\oplus(e,f)\big)=(a,b)\oplus(ce,df)=(a\cdot ce,\, b\cdot df)=(a(c e),\, b(d f)).
Os dois lados coincidem porque a multiplicação real é associativa. Portanto \oplus é associativa.
Com isso (V,\oplus) é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro (1,1), inversos, comutatividade).

Passo 5

Agora verifico as propriedades que envolvem a multiplicação por escalar (as que restam dos axiomas de espaço vetorial). Vou usar regras elementares de potências: para a>0 e \alpha,\beta\in\mathbb{R} valem
(a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta},\qquad a^{\alpha+\beta}=a^{\alpha}a^{\beta},\qquad (ab)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha},
todas propriedades clássicas de expoentes (válidas para base positiva).
Verifico cada axioma:
  1. Compatibilidade (\alpha\beta)(a,b)=\alpha(\beta(a,b)):
(\alpha\beta)(a,b)=(a^{\alpha\beta},\, b^{\alpha\beta}),
e
\alpha\big(\beta(a,b)\big)=\alpha\big(a^{\beta},b^{\beta}\big)=\big((a^{\beta})^{\alpha},(b^{\beta})^{\alpha}\big)=\big(a^{\beta\alpha},b^{\beta\alpha}\big).
Como \alpha\beta=\beta\alpha, os dois lados coincidem.
  1. Identidade escalar 1\cdot (a,b)=(a,b):
1\cdot (a,b)=(a^{1},b^{1})=(a,b).
  1. Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: \alpha\big((a,b)\oplus(c,d)\big)=\alpha(a,b)\oplus\alpha(c,d).
    Calculo o lado esquerdo:
\alpha\big((a,b)\oplus(c,d)\big)=\alpha(ac,bd)=\big((ac)^{\alpha},(bd)^{\alpha}\big).
Usando (ac)^{\alpha}=a^{\alpha}c^{\alpha} obtemos
\big((ac)^{\alpha},(bd)^{\alpha}\big)=(a^{\alpha}c^{\alpha},\, b^{\alpha}d^{\alpha})=(a^{\alpha},b^{\alpha})\oplus(c^{\alpha},d^{\alpha}),
isto é o lado direito.
  1. Distributividade do escalar sobre soma de escalares: (\alpha+\beta)(a,b)=\alpha(a,b)\oplus\beta(a,b).
    Calculo:
(\alpha+\beta)(a,b)=(a^{\alpha+\beta},b^{\alpha+\beta})=(a^{\alpha}a^{\beta},\, b^{\alpha}b^{\beta})=(a^{\alpha},b^{\alpha})\oplus(a^{\beta},b^{\beta}).
Portanto todas as propriedades envolvendo escalares são satisfeitas.

Passo 6

Resumo conceitual curto (para você internalizar): todas as propriedades de espaço vetorial seguem diretamente das propriedades elementares de multiplicação e de exponentes para números positivos. Uma maneira compacta de ver isso é notar que a aplicação
\Phi: V\to\mathbb{R}^2,\qquad \Phi(a,b)=(\ln a,\ln b)
é bijetora (pois a inversa é \Phi^{-1}(x,y)=(e^{x},e^{y})) e transforma as operações dadas em operações usuais de \mathbb{R}^2:
\Phi\big((a,b)\oplus(c,d)\big)=(\ln(ac),\ln(bd))=(\ln a+\ln c,\ln b+\ln d)=\Phi(a,b)+\Phi(c,d),
\Phi\big(\alpha(a,b)\big)=(\ln(a^{\alpha}),\ln(b^{\alpha}))=(\alpha\ln a,\alpha\ln b)=\alpha\,\Phi(a,b).
Logo \Phi é um isomorfismo linear entre (V,\oplus,\cdot) e o espaço vetorial usual \mathbb{R}^2. Sendo \mathbb{R}^2 um espaço vetorial, V também é.

Passo 7

Comentário prático para a prova (o que memorizo): o vetor nulo em V é (1,1). O oposto/aditivo de (a,b) é (a^{-1},b^{-1}). A verificação das demais propriedades é feita aplicando as leis de potências e de produto que já usamos acima. Se for pedido, mostre uma das propriedades elementares como exemplo (por exemplo distributividade) como eu fiz no Passo 5.

Resposta

V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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