Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear cuja matriz na base canônica é
\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right)
Determine a forma canônica de Jordan de T.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
O que a questão pede: determinar a forma canônica de Jordan de T, ou seja, encontrar a matriz de Jordan associada a A.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 3\times3 e tem entradas explícitas (listadas acima).
  • Deve-se encontrar as estruturas de blocos de Jordan (autovalores, multiplicidades algébrica e geométrica, e tamanhos dos blocos).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o polinômio característico de A. O polinômio característico é definido por
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade 3\times3. Vamos montar A-\lambda I e calcular o determinante passo a passo:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 1 \\\\ 1 & -\lambda & -3 \\\\ 0 & 1 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Usando a expansão pela primeira linha (ou qualquer método de determinante), temos
\begin{aligned} p(\lambda)&=\det(A-\lambda I) \\\ &=(-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & -3 \\[4pt] 1 & 3-\lambda\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -\lambda \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}. \end{aligned}
Agora calculamos as duas determinantes menores explicitamente:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & -3 \\[4pt] 1 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(-\lambda)(3-\lambda)-(-3)\cdot 1 =\lambda^2-3\lambda+3,
e
\det\begin{pmatrix}1 & -\lambda \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1.
Portanto
p(\lambda)=(-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+3)+1=-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1.
Multiplicando por -1 para ficar mais claro:
p(\lambda)=\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-1.]

Passo 3

Reconhecendo o polinômio do passo anterior, observamos que é uma potência:
\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-1=(\lambda-1)^3.
Logo o único autovalor é \lambda=1 e sua multiplicidade algébrica (multiplicidade como raiz do polinômio característico) é 3.
Explicação didática curta: a multiplicidade algébrica é o número de vezes que o autovalor aparece como raiz do polinômio característico; aqui aparece três vezes.

Passo 4

Agora precisamos da multiplicidade geométrica do autovalor \lambda=1\), ou seja, a dimensão do espaço próprio \(\ker(A-I)\). Calculamos \(A-I\): \[A-I=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & -1 & -3 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Resolvemos (A-I)x=0. Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3), o sistema é
\begin{cases} -x_1 + x_3 = 0,\\[4pt] x_1 - x_2 - 3x_3 = 0,\\[4pt] x_2 + 2x_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x_1=x_3\]. Da terceira vem \(x_2=-2x_3. A segunda é compatível com essas escolhas (verificação direta). Assim as soluções são
x = t\,(1,-2,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Portanto \dim\ker(A-I)=1. Isso significa que a multiplicidade geométrica do autovalor 1 é 1.
Explicação didática: a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) conta quantos autovetores linearmente independentes existem para o autovalor; aqui só existe uma direção própria.]

Passo 5

Com multiplicidade algébrica 3 e geométrica 1, as possibilidades de blocos de Jordan (cujos tamanhos somam 3) são determinadas pelo número de blocos igual à multiplicidade geométrica. Como a multiplicidade geométrica é 1, deve haver exatamente um bloco de Jordan associado ao autovalor 1. Logo a única possibilidade é um bloco de tamanho 3. Ou seja, a forma de Jordan é um bloco 3\times3 de autovalor 1:
J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Para confirmar a estrutura de cadeias generalizadas, pode-se checar que \dim\ker((A-I)^2)=2 (o que é consistente com um bloco de tamanho 3). Vamos calcular (A-I)^2 rapidamente para verificar:
(A-I)^2=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] -2 & -2 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
que tem posto 1 e, portanto \dim\ker((A-I)^2)=2. Isso confirma a cadeia de tamanhos 1,2,3 esperada para um único bloco de tamanho 3.]

Passo 6

(se quiser construir explicitamente uma base de Jordan, segue um procedimento direto — útil na prova)
  • Escolher um autovetor v_1 para \lambda=1: v_1=(1,-2,1).
  • Resolver (A-I)v_2=v_1 para obter um vetor generalizado de ordem 2: uma solução é v_2=(0,-1,1).
  • Resolver (A-I)v_3=v_2 para obter um vetor generalizado de ordem 3: uma solução é v_3=(0,1,0).
    A base \{v_1,v_2,v_3\} é uma cadeia de Jordan e, na base formada por esses vetores, a matriz de T tem exatamente a forma J dada no passo anterior, com uns na diagonal e uns na superdiagonal.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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