Seja T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} um operador linear cuja matriz na base canônica é
\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)
Determine a forma canônica de Jordan de T.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de um operador linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 na base canônica:
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
A tarefa é encontrar a forma canônica de Jordan de T, ou seja, a matriz de Jordan J similar a A (matriz diagonal por blocos de Jordan, com autovalores na diagonal e possivelmente 1's na superdiagonal).
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A de dimensão 4\times4.
  • Não há mais dados externos; tudo o que precisamos vem da própria matriz.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I) para achar os autovalores (e suas multiplicidades algébricas). Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1-\lambda & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1-\lambda & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Escolho expandir o determinante pela terceira coluna porque ela tem muitos zeros: os elementos da terceira coluna são 0,0,1-\lambda,0, isto elimina quase todas as co-fatores. Assim
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\cdot M_{33},
onde M_{33} é o determinante do menor obtido excluindo a terceira linha e a terceira coluna.

Passo 3

Formo o menor B (linhas 1,2,4 e colunas 1,2,4):
B=\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1 \\\\ 0 & 1-\lambda & 0 \\\\ -1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Novamente uso expansão conveniente: a segunda linha de B tem apenas o elemento central não-zero, então
\det B=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\\\ -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Calculo o 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\\\ -1 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(-\lambda)(2-\lambda)-1\cdot(-1)= -2\lambda+\lambda^2+1=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.
Portanto
\det B=(1-\lambda)(\lambda-1)^2.

Passo 4

Voltando ao determinante total:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\cdot\det B=(1-\lambda)\cdot(1-\lambda)(\lambda-1)^2.
Observando que (\lambda-1)^2=(1-\lambda)^2, segue
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^4.
Conclusão: o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 4.

Passo 5

Agora precisamos das multiplicidades geométricas (dimensão do espaço próprio \ker(A-I)) para determinar o número de blocos de Jordan. Calculo N:=A-I:
N=A-I=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Observação: as linhas 1,3,4 são idênticas e a segunda linha é zero. Isso indica que a posto de N é muito pequeno.

Passo 6

Determinar o posto de N e \dim\ker(A-I). Note que as colunas de N são múltiplos do vetor c=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}: explicitamente
\text{col}_1=-c,\qquad \text{col}_2=c,\qquad \text{col}_3=0,\qquad \text{col}_4=c.
Logo N é matriz de posto 1 (produto exterior de dois vetores). Assim
\operatorname{rank}N=1\quad\Longrightarrow\quad \dim\ker(A-I)=4-1=3.
Interpretação: o espaço próprio (autovalores com \lambda=1) tem dimensão geométrica 3. Logo há exatamente 3 blocos de Jordan correspondentes a \lambda=1.

Passo 7

Com multiplicidade algébrica 4 e geométrica 3, os blocos de Jordan para \lambda=1 devem somar tamanho 4 e ser exatamente 3 blocos. A única partição possível é 2+1+1: isto é, um bloco de tamanho 2 e dois blocos de tamanho 1. Assim a forma de Jordan será a diagonal por blocos com um bloco J_2(1) e dois blocos J_1(1)=[1].

Passo 8

Para confirmar que o maior bloco tem tamanho 2 (e não, por exemplo, 3), é útil checar o menor polinômio (ou o índice de nilpotência de N). Como N é de posto 1, pode ser escrito como produto exterior N=c\,r com
c=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad r=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Então
N^2=(c r)(c r)=c (r c) r=(r c)\,N.
Calculo o escalar r c:
r c = (-1)\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 1 = -1+0+0+1 = 0.
Portanto N^2=0. Isso significa que N é nilpotente de ordem 2, ou seja, (A-I)^2=0. Consequência direta: o maior tamanho de bloco de Jordan é 2 (não poderia ser 3 ou maior). Isso confirma a partição 2+1+1.

Passo 9

Juntando tudo: há um bloco de Jordan 2\times2 para \lambda=1 e dois blocos 1\times1 para \lambda=1. A forma canônica de Jordan (colocando o bloco 2\times2 primeiro) é
J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

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