A tarefa é encontrar a forma canônica de Jordan de T, ou seja, a matriz de Jordan J similar a A (matriz diagonal por blocos de Jordan, com autovalores na diagonal e possivelmente 1's na superdiagonal).
Informações relevantes dadas:
A matriz A de dimensão 4\times4.
Não há mais dados externos; tudo o que precisamos vem da própria matriz.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I) para achar os autovalores (e suas multiplicidades algébricas). Escrevendo A-\lambda I:
Escolho expandir o determinante pela terceira coluna porque ela tem muitos zeros: os elementos da terceira coluna são 0,0,1-\lambda,0, isto elimina quase todas as co-fatores. Assim
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\cdot M_{33},
onde M_{33} é o determinante do menor obtido excluindo a terceira linha e a terceira coluna.
Observação: as linhas 1,3,4 são idênticas e a segunda linha é zero. Isso indica que a posto de N é muito pequeno.
Passo 6
Determinar o posto de N e \dim\ker(A-I). Note que as colunas de N são múltiplos do vetor c=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}: explicitamente
Interpretação: o espaço próprio (autovalores com \lambda=1) tem dimensão geométrica 3. Logo há exatamente 3 blocos de Jordan correspondentes a \lambda=1.
Passo 7
Com multiplicidade algébrica 4 e geométrica 3, os blocos de Jordan para \lambda=1 devem somar tamanho 4 e ser exatamente 3 blocos. A única partição possível é 2+1+1: isto é, um bloco de tamanho 2 e dois blocos de tamanho 1. Assim a forma de Jordan será a diagonal por blocos com um bloco J_2(1) e dois blocos J_1(1)=[1].
Passo 8
Para confirmar que o maior bloco tem tamanho 2 (e não, por exemplo, 3), é útil checar o menor polinômio (ou o índice de nilpotência de N). Como N é de posto 1, pode ser escrito como produto exterior N=c\,r com
r c = (-1)\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 1 = -1+0+0+1 = 0.
Portanto N^2=0. Isso significa que N é nilpotente de ordem 2, ou seja, (A-I)^2=0. Consequência direta: o maior tamanho de bloco de Jordan é 2 (não poderia ser 3 ou maior). Isso confirma a partição 2+1+1.
Passo 9
Juntando tudo: há um bloco de Jordan 2\times2 para \lambda=1 e dois blocos 1\times1 para \lambda=1. A forma canônica de Jordan (colocando o bloco 2\times2 primeiro) é