Seja f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{2}+2 & \text { se } & x \geq-1 \\\ x+c^{2} & \text { se } & x<-1 \end{array}\right.
Determinar o valor c para que f seja contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) é definida por partes: \[f(x)=\begin{cases} x^{2}+2 & \text{se } x\geq -1,\\[4pt] x+c^{2} & \text{se } x< -1, \end{cases}onde c\] é uma constante a determinar. - O que o enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de \(c para que f seja contínua em todo \mathbb{R}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é dada por duas expressões diferentes, com a “troca” ocorrendo no ponto x=-1.
  • Cada ramo ( x^{2}+2 e x+c^{2}) é uma função polinomial/afim (portanto bem comportada dentro de seu domínio de definição).]

Passo 2

Entender o que significa "ser contínua em todo \mathbb{R}".
  • Definição pontual de continuidade: uma função f é contínua em um ponto a se, e somente se,
    \lim_{x\to a} f(x) = f(a).
    Isto significa que o limite (de ambos os lados) quando x se aproxima de a existe e é igual ao valor da função em a.
  • Para funções definidas por partes, no ponto de troca (aqui x=-1) é preciso verificar os limites laterais:
    \lim_{x\to -1^-} f(x),\qquad \lim_{x\to -1^+} f(x)
    e também f(-1). A função será contínua em x=-1 se, e somente se,
    \lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^+} f(x) = f(-1).
Explicação rápida e prática: funções polinomiais são contínuas em todo lugar, então não há problema com pontos internos de cada ramo; o único ponto que pode causar descontinuidade é o ponto onde a definição muda, que é x=-1.

Passo 3

Verificar continuidade para x\neq -1.
  • Para x>-1 a função é f(x)=x^{2}+2, que é um polinômio e, portanto, contínuo em todos os x.
  • Para x<-1 a função é f(x)=x+c^{2}, que é uma função afim (linear em x) e também é contínua em todos os x.
Conclusão deste passo: a única possível descontinuidade ocorre em x=-1. Precisamos então analisar o ponto x=-1.

Passo 4

Calcular f(-1) (valor da função no ponto de troca), usando a definição para x\geq -1.
  • Como -1 pertence ao ramo x\geq -1, temos f(-1)=(-1)^{2}+2.
  • Calculando: f(-1)=1+2=3.

Passo 5

Calcular o limite pela direita em x=-1, ou seja \lim_{x\to -1^+} f(x).
  • Para x>-1 usamos f(x)=x^{2}+2. Como x^{2}+2 é contínuo, o limite quando x\to -1 é o mesmo que avaliar a função em -1: \lim_{x\to -1^+} f(x)=\lim_{x\to -1^+} (x^{2}+2)=(-1)^{2}+2=3.

Passo 6

Calcular o limite pela esquerda em x=-1, ou seja \lim_{x\to -1^-} f(x).
  • Para x<-1 usamos f(x)=x+c^{2}. Essa função é contínua, então o limite pela esquerda é igual ao valor da expressão em x=-1: \lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^-} (x+c^{2}) = -1 + c^{2}.

Passo 7

Aplicar a condição de continuidade em x=-1.
  • Para f ser contínua em x=-1 precisamos que \lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^+} f(x) = f(-1).
  • Substituindo os valores que encontramos: -1 + c^{2} = 3.
  • Resolver essa equação: c^{2} = 4.
c = \pm 2.

Passo 8

Verificar rapidamente que essas soluções realmente funcionam.
  • Se c=2: \lim_{x\to -1^-} f(x) = -1 + 2^{2} = -1 +4 =3, que coincide com \lim_{x\to -1^+} f(x)=3 e com f(-1)=3.
  • Se c=-2: \lim_{x\to -1^-} f(x) = -1 + (-2)^{2} = -1 +4 =3 também coincide com os demais.
  • Portanto ambos os valores garantem continuidade em x=-1. Como já vimos os outros pontos são contínuos, concluímos que com c=\pm 2 a função é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

c=2
c=-2

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