Seja
definida por
Determinar o valor
para que
seja contínua em todo
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- A função
onde
para que
seja contínua em todo .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é dada por duas expressões diferentes, com a “troca” ocorrendo no ponto
. - Cada ramo (
e ) é uma função polinomial/afim (portanto bem comportada dentro de seu domínio de definição).]
Passo 2
Entender o que significa "ser contínua em todo
".
-
Definição pontual de continuidade: uma função
é contínua em um ponto se, e somente se, Isto significa que o limite (de ambos os lados) quandose aproxima de existe e é igual ao valor da função em . -
Para funções definidas por partes, no ponto de troca (aqui
) é preciso verificar os limites laterais: e também. A função será contínua em se, e somente se,
Explicação rápida e prática: funções polinomiais são contínuas em todo lugar, então não há problema com pontos internos de cada ramo; o único ponto que pode causar descontinuidade é o ponto onde a definição muda, que é
.
Passo 3
Verificar continuidade para
.
- Para
a função é , que é um polinômio e, portanto, contínuo em todos os . - Para
a função é , que é uma função afim (linear em ) e também é contínua em todos os .
Conclusão deste passo: a única possível descontinuidade ocorre em
. Precisamos então analisar o ponto
.
Passo 4
Calcular
(valor da função no ponto de troca), usando a definição para
.
- Como
pertence ao ramo , temos - Calculando:
Passo 5
Calcular o limite pela direita em
, ou seja
.
- Para
usamos . Como é contínuo, o limite quando é o mesmo que avaliar a função em :
Passo 6
Calcular o limite pela esquerda em
, ou seja
.
- Para
usamos . Essa função é contínua, então o limite pela esquerda é igual ao valor da expressão em :
Passo 7
Aplicar a condição de continuidade em
.
- Para
ser contínua em precisamos que - Substituindo os valores que encontramos:
- Resolver essa equação:
Passo 8
Verificar rapidamente que essas soluções realmente funcionam.
- Se
: , que coincide com e com . - Se
: também coincide com os demais. - Portanto ambos os valores garantem continuidade em
. Como já vimos os outros pontos são contínuos, concluímos que com a função é contínua em todo .