Em um levantamento realizado, em maio de 1983 nos 200 funcionários da empresa X K, em relação a variável expressa em unidades monetárias (u.m.), obteve-se a seguinte tabela:
Salário (y.m.) № de Funcionários
01-2 26
21-4 32
41-6 34
6|-8 40
8 |-10 28
10|-12 22
12|-14 18
\Sigma 200
Considerando os 200 funcionários como de uma população, determine:
O valor da moda e da média dos salários.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes valores da tabela do enunciado):
  • Classes de salário e suas frequências:
    • classe 0\!-\!2: 26 funcionários;
    • classe 2\!-\!4: 32 funcionários;
    • classe 4\!-\!6: 34 funcionários;
    • classe 6\!-\!8: 40 funcionários;
    • classe 8\!-\!10: 28 funcionários;
    • classe 10\!-\!12: 22 funcionários;
    • classe 12\!-\!14: 18 funcionários.
  • Total: \Sigma = 200 funcionários (considerados como população).
O enunciado pede:
  • Determinar o valor da moda dos salários;
  • Determinar o valor da média dos salários.

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
  • Tratam-se de dados agrupados (frequências por classes). Para a moda usamos a fórmula de interpolação dentro da classe modal (porque a moda para dados agrupados é um valor aproximado dentro da classe que tem maior frequência).
    Fórmula da moda para dados agrupados:
    \text{Moda} = L + \dfrac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}}\;h
    onde:
    • L é o limite inferior da classe modal (valor numérico);
    • f_m é a frequência da classe modal (maior frequência);
    • f_{m-1} é a frequência da classe anterior;
    • f_{m+1} é a frequência da classe seguinte;
    • h é a amplitude (largura) da classe.
      Explicando em miúdos: essa fórmula faz uma interpolação linear dentro da classe modal, pesando quanto a classe modal se destaca em relação às vizinhas.
  • Para a média populacional dos dados agrupados usamos a média ponderada pelos pontos médios das classes:
    \bar{x} = \dfrac{\sum_{i} f_i x_i}{N}
    onde:
    • f_i é a frequência da i-ésima classe;
    • x_i é o ponto médio (marcador de classe) da i-ésima classe, isto é \dfrac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2};
    • N é o total da população (aqui N=200).
      Em palavras: multiplicamos cada ponto médio pela frequência da classe, somamos e dividimos pelo total.

Passo 3

Identificar a classe modal e parâmetros para a fórmula da moda.
  • A maior frequência é 40, que pertence à classe 6\!-\!8. Logo:
    • f_m = 40 (frequência modal);
    • f_{m-1} = 34 (frequência da classe anterior 4\!-\!6);
    • f_{m+1} = 28 (frequência da classe seguinte 8\!-\!10);
    • L = 6 (limite inferior da classe modal);
    • h = 2 (amplitude da classe, pois 8-6=2).

Passo 4

Calcular a moda usando a fórmula, mostrando todas as contas.
  • Primeiro calcule o numerador e o denominador da fração: f_m - f_{m-1} = 40 - 34 = 6,
2f_m - f_{m-1} - f_{m+1} = 2\cdot 40 - 34 - 28 = 80 - 62 = 18.
  • Fração: \dfrac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}.
  • Agora a moda: \text{Moda} = L + \left(\dfrac{1}{3}\right)h = 6 + \dfrac{1}{3}\cdot 2 = 6 + \dfrac{2}{3} = 6\frac{2}{3}.
  • Em decimal: \text{Moda} = 6{,}666\ldots\\ \text{u.m.}

Passo 5

Calcular a média populacional passo a passo.
  • Primeiro determinar os pontos médios x_i de cada classe e os produtos f_i x_i.
    Cálculo dos pontos médios:
    • Classe 0\!-\!2: x_1 = \dfrac{0+2}{2} = 1.
    • Classe 2\!-\!4: x_2 = \dfrac{2+4}{2} = 3.
    • Classe 4\!-\!6: x_3 = \dfrac{4+6}{2} = 5.
    • Classe 6\!-\!8: x_4 = \dfrac{6+8}{2} = 7.
    • Classe 8\!-\!10: x_5 = \dfrac{8+10}{2} = 9.
    • Classe 10\!-\!12: x_6 = \dfrac{10+12}{2} = 11.
    • Classe 12\!-\!14: x_7 = \dfrac{12+14}{2} = 13.
    Produtos f_i x_i:
    \begin{aligned} 26\cdot 1 &= 26,\\\\ 32\cdot 3 &= 96,\\\\ 34\cdot 5 &= 170,\\\\ 40\cdot 7 &= 280,\\\\ 28\cdot 9 &= 252,\\\\ 22\cdot 11 &= 242,\\\\ 18\cdot 13 &= 234. \end{aligned}
  • Somar todos os f_i x_i:
    \sum_i f_i x_i = 26 + 96 + 170 + 280 + 252 + 242 + 234 = 1300.
  • Dividir pelo total N=200:
    \bar{x} = \dfrac{1300}{200} = 6{,}5\\ \text{u.m.}

Passo 6

Interpretação curta e ânimo:
  • A moda aproximada dos salários é \,6\frac{2}{3}\, u.m., ou seja, o salário mais frequente está por volta de \,6{,}67 u.m. (dentro da classe 6\!-\!8).
  • A média dos salários é \,6{,}5 u.m.; isso significa que, em média, um funcionário ganha 6{,}5 u.m.
  • Está tudo certo: usei a fórmula apropriada para dados agrupados e apresentei as contas passo a passo. Você já tem as duas respostas e agora sabe como reproduzir no caderno ou na prova — força aí, dá pra virar esse desespero em nota boa!

Resposta

\text{Moda} = 6\frac{2}{3}\\ \text{u.m.} = 6{,}666\ldots\\ \text{u.m.}
\text{Média} = 6{,}5\\ \text{u.m.}é

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