Seja f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{rll} x-c & \text { se } & x \geq 2 \\\ x^{2}+c x-5 & \text { se } & x<2 \end{array}\right.
Determinar o valor c para que f seja contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define uma função pedaço a pedaço f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:
f(x)=\left\{\begin{array}{rll} x-c & \text{ se } & x\ge 2,\\[4pt] x^{2}+c x-5 & \text{ se } & x<2, \end{array}\right.
e pede para determinar o valor de c tal que f seja contínua em todo \mathbb{R}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é definida por duas expressões diferentes dependendo se x é maior ou igual a 2 ou menor que 2.
  • A incógnita a ajustar é o número real c.
  • A condição desejada é continuidade de f em todos os pontos de \mathbb{R}.]

Passo 2

Entender o que é necessário verificar para continuidade: um ponto a é ponto de continuidade de uma função f se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para funções definidas por pedaços, normalmente só é preciso checar os pontos onde a definição muda de expressão. Aqui a definição muda em x=2. Nos pontos com x<2 e com x>2 cada ramo é uma função polinomial (ou afim), e essas funções são contínuas em todos os seus pontos. Portanto, a única possível descontinuidade está em x=2. Assim, devemos garantir que o limite à esquerda em 2 e o valor (e limite à direita) em 2 coincidam.

Passo 3

Calcular o valor de f(2) (usando a definição para x\ge 2) e o limite à esquerda \lim_{x\to 2^-} f(x) (usando a definição para x<2).
Valor no ponto 2:
f(2)=2-c.
Limite pela esquerda (substituir x=2 na expressão polinomial):
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-}\bigl(x^{2}+c x-5\bigr) =2^{2}+c\cdot 2-5=4+2c-5=2c-1.
Para que f seja contínua em x=2 é preciso que
\lim_{x\to 2^-} f(x)=f(2),
isto é,
2c-1=2-c.

Passo 4

Resolver a equação para c:
2c-1=2-c.
Somando c em ambos os lados:
3c-1=2.
Somando 1 em ambos os lados:
3c=3.
Dividindo por 3:
c=1.

Passo 5

Verificação final com c=1:
  • Valor no ponto:
f(2)=2-1=1.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=2\cdot 1-1=1.
Como os dois coincidem e cada ramo é contínuo em seu domínio, concluímos que com c=1 a função f é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

c=1

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