Seja
definida por
Determinar o valor
para que
seja contínua em todo
.
Passo 1
O enunciado define uma função pedaço a pedaço
:
e pede para determinar o valor de
tal que
seja contínua em todo
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é definida por duas expressões diferentes dependendo se
é maior ou igual a ou menor que . - A incógnita a ajustar é o número real
. - A condição desejada é continuidade de
em todos os pontos de .]
Passo 2
Entender o que é necessário verificar para continuidade: um ponto
é ponto de continuidade de uma função
se
Para funções definidas por pedaços, normalmente só é preciso checar os pontos onde a definição muda de expressão. Aqui a definição muda em
. Nos pontos com
e com
cada ramo é uma função polinomial (ou afim), e essas funções são contínuas em todos os seus pontos. Portanto, a única possível descontinuidade está em
. Assim, devemos garantir que o limite à esquerda em
e o valor (e limite à direita) em
coincidam.
Passo 3
Calcular o valor de
(usando a definição para
) e o limite à esquerda
(usando a definição para
).
Valor no ponto
:
Limite pela esquerda (substituir
na expressão polinomial):
Para que
seja contínua em
é preciso que
isto é,
Passo 4
Resolver a equação para
:
Somando
em ambos os lados:
Somando
em ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 5
Verificação final com
:
- Valor no ponto:
- Limite pela esquerda:
Como os dois coincidem e cada ramo é contínuo em seu domínio, concluímos que com
a função
é contínua em todo
.