Seja \mathbb{R}[x] o espaço vetorial dos polinômios
p(x)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} x, \quad n \in \mathbb{N},
com coeficientes a_{i} reais, na variável x. Mostre que a aplicação
D: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x],
que associa cada polinômio p a sua derivada
D(p(x))=p^{\prime}(x)=\sum_{i=1}^{n} i a_{i} x^{i-1},
é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial dos polinômios \mathbb{R}[x] e a aplicação
D:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]
que associa a cada polinômio sua derivada. Foi dada a fórmula da derivada de um polinômio: se
p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i},
então
D(p(x))=p'(x)=\sum_{i=1}^{n} i a_{i} x^{i-1}.
O que o problema pede: mostrar que D é uma transformação linear, ou seja, provar explicitamente as duas propriedades abaixo para quaisquer p,q\in\mathbb{R}[x] e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}:
  1. D(p+q)=D(p)+D(q).
  2. D(\alpha p)=\alpha\,D(p).

Passo 2

Definição de transformação linear (lembrando passo a passo, como numa prova-mandada): uma aplicação T:V\to W entre espaços vetoriais é linear se, para todos u,v\in V e todo \lambda\in\mathbb{R}, valem
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\lambda u)=\lambda T(u).
Aqui V=W=\mathbb{R}[x] e T=D. Vou verificar as duas propriedades usando a expressão soma de coeficientes dos polinômios e a fórmula da derivada termo a termo.

Passo 3

Propriedade aditividade: escolha dois polinômios genéricos
p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i},\qquad q(x)=\sum_{i=0}^{m} b_{i} x^{i}.
Para somar é conveniente considerar um índice máximo N=\max\{n,m\} e completar com coeficientes zero quando necessário; assim
p(x)+q(x)=\sum_{i=0}^{N} (a_{i}+b_{i}) x^{i}.
Agora aplicamos D (derivada termo a termo) em p+q:
D(p+q)=\sum_{i=1}^{N} i(a_{i}+b_{i}) x^{i-1}.
Distribuindo o fator i dentro da soma obtemos
D(p+q)=\sum_{i=1}^{N} \big(i a_{i}\big) x^{i-1} \;+\; \sum_{i=1}^{N} \big(i b_{i}\big) x^{i-1}.
Cada uma dessas somas é exatamente a derivada de p e de q (com termos nulos quando além do grau), isto é,
\sum_{i=1}^{N} i a_{i} x^{i-1}=D(p),\qquad \sum_{i=1}^{N} i b_{i} x^{i-1}=D(q).
Portanto
D(p+q)=D(p)+D(q).
Isso prova a aditividade.

Passo 4

Propriedade homogênea (multiplicação por escalar): seja \alpha\in\mathbb{R} e o polinômio p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}. O polinômio \alpha p tem coeficientes \alpha a_{i}, ou seja
\alpha p(x)=\sum_{i=0}^{n} (\alpha a_{i}) x^{i}.
Aplicando D em \alpha p e usando a fórmula da derivada:
D(\alpha p)=\sum_{i=1}^{n} i(\alpha a_{i}) x^{i-1}.
Como \alpha é um número real, pode ser fatorado para fora da soma:
D(\alpha p)=\alpha\sum_{i=1}^{n} i a_{i} x^{i-1}=\alpha\,D(p).
Isso prova a propriedade de homogeneidade.

Passo 5

Consequências e observações didáticas rápidas (para fixar): a derivada de um polinômio é feita termo a termo multiplicando cada coeficiente pelo expoente e diminuindo o expoente em 1; por isso a operação respeita soma e multiplicação por escalar — é exatamente por atuar componente a componente no vetor de coeficientes. Como corolário rápido, D envia o polinômio nulo em nulo, pois D(0)=0, e constantes viram zero: se p(x)=a_0 então D(p)=0.

Passo 6

Exemplo concreto (pra ficar leve e confiante): tome p(x)=3+2x+x^{2} e q(x)=1+x. Então
p+q=4+3x+x^{2}
e
D(p)=2+2x,\qquad D(q)=1,
logo
D(p)+D(q)=(2+2x)+1=3+2x.
Por outro lado
D(p+q)=D(4+3x+x^{2})=3+2x,
coincide com D(p)+D(q). Também, para \alpha=5,
D(5p)=5D(p),
ou seja, a propriedade homogênea também se confirma no exemplo.

Passo 7

Conclusão: como D satisfaz aditividade e homogeneidade para todos p,q\in\mathbb{R}[x] e \alpha\in\mathbb{R}, D é uma transformação linear.

Resposta

D é linear: para quaisquer p,q\in\mathbb{R}[x] e \alpha\in\mathbb{R} vale D(p+q)=D(p)+D(q) e D(\alpha p)=\alpha\,D(p).

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