Seja
o espaço vetorial dos polinômios
com coeficientes
reais, na variável
. Mostre que a aplicação
que associa cada polinômio
a sua derivada
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial dos polinômios
e a aplicação
que associa a cada polinômio sua derivada. Foi dada a fórmula da derivada de um polinômio: se
então
O que o problema pede: mostrar que
é uma transformação linear, ou seja, provar explicitamente as duas propriedades abaixo para quaisquer
e qualquer escalar
:
-
. -
.
Passo 2
Definição de transformação linear (lembrando passo a passo, como numa prova-mandada): uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para todos
e todo
, valem
e
Aqui
e
. Vou verificar as duas propriedades usando a expressão soma de coeficientes dos polinômios e a fórmula da derivada termo a termo.
Passo 3
Propriedade aditividade: escolha dois polinômios genéricos
Para somar é conveniente considerar um índice máximo
e completar com coeficientes zero quando necessário; assim
Agora aplicamos
(derivada termo a termo) em
:
Distribuindo o fator
dentro da soma obtemos
Cada uma dessas somas é exatamente a derivada de
e de
(com termos nulos quando além do grau), isto é,
Portanto
Isso prova a aditividade.
Passo 4
Propriedade homogênea (multiplicação por escalar): seja
e o polinômio
. O polinômio
tem coeficientes
, ou seja
Aplicando
em
e usando a fórmula da derivada:
Como
é um número real, pode ser fatorado para fora da soma:
Isso prova a propriedade de homogeneidade.
Passo 5
Consequências e observações didáticas rápidas (para fixar): a derivada de um polinômio é feita termo a termo multiplicando cada coeficiente pelo expoente e diminuindo o expoente em 1; por isso a operação respeita soma e multiplicação por escalar — é exatamente por atuar componente a componente no vetor de coeficientes. Como corolário rápido,
envia o polinômio nulo em nulo, pois
, e constantes viram zero: se
então
.
Passo 6
Exemplo concreto (pra ficar leve e confiante): tome
e
. Então
e
logo
Por outro lado
coincide com
. Também, para
,
ou seja, a propriedade homogênea também se confirma no exemplo.
Passo 7
Conclusão: como
satisfaz aditividade e homogeneidade para todos
e
,
é uma transformação linear.