Determine a matriz P que diagonaliza A e calcule PAP. É possivel encontrar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente? Se sim, calcule P.
\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\\\ 3 & 1 \end{array}\right]=A

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  • Determinar uma matriz P que diagonaliza A.
  • Calcular PAP (interpreto aqui como o passo padrão de diagonalização que resulta na matriz diagonal — irei apresentar P^{-1}AP, que é a forma usual de diagonalização).
  • Dizer se existe uma matriz P ortogonal que diagonaliza A; se sim, calculá-la.
As informações dadas (peguei a matriz do enunciado, a matriz também foi mencionada na imagem) são:
A=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Para diagonalizar A precisamos encontrar os autovalores e autovetores. Lembrete rápido do método:
  • Os autovalores \lambda são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
  • Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores v.
  • Se obtivermos dois autovetores linearmente independentes (neste caso 2\times2), então A é diagonalizável; tomamos P com esses autovetores como colunas e então P^{-1}AP será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
Vou calcular o polinômio característico:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 4\\[4pt] 3 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(1-\lambda)-4\cdot 3.
Agora expandindo:
(2-\lambda)(1-\lambda)-12 =\lambda^{2}-3\lambda+2-12 =\lambda^{2}-3\lambda-10.
Resolvendo \lambda^{2}-3\lambda-10=0 com fórmula quadrática (ou fatorando se possível):
\lambda=\frac{3\pm\sqrt{9+40}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{3\pm7}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1=5,\qquad \lambda_2=-2.]

Passo 3

Agora obter os autovetores correspondentes.
Para \lambda_1=5 resolvemos (A-5I)v=0:
A-5I=\begin{pmatrix}2-5 & 4\\[4pt] 3 & 1-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & 4\\[4pt] 3 & -4\end{pmatrix}.
A equação \begin{pmatrix}-3 & 4\\[4pt] 3 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 dá a linha -3x+4y=0, ou seja 4y=3x e portanto y=\dfrac{3}{4}x. Um autovetor conveniente (escolhendo x=4) é
v_1=\begin{pmatrix}4\\[4pt] 3\end{pmatrix},
pois satisfaz A v_1 = 5 v_1.
Para \lambda_2=-2 resolvemos (A+2I)v=0:
A+2I=\begin{pmatrix}2+2 & 4\\[4pt] 3 & 1+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 4\\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}.
A equação 4x+4y=0 x=-y. Um autovetor conveniente (escolhendo x=1) é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
pois A v_2 = -2 v_2.
Os autovetores v_1 e v_2 são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), então A é diagonalizável.]

Passo 4

Formamos a matriz P com os autovetores como colunas:
P=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Explicação do porquê: quando colocamos vetores próprios como colunas em P, vale A P = P D, onde D é a diagonal com os autovalores correspondentes; daí P^{-1} A P = D.
Para checar, calculemos A aplicado às colunas de P:
  • A v_1 = A\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix} = 5\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\\[4pt]15\end{pmatrix}.
  • A v_2 = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = -2\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Logo
A P = \begin{pmatrix}20 & -2\\[4pt]15 & 2\end{pmatrix} = P \begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.
Assim a matriz diagonal D é
D=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix},
e de fato
P^{-1} A P = D.]

Passo 5

Para completar, mostro explicitamente P^{-1} (útil se quiser multiplicar e verificar):
Determinante de P:
\det(P)=4\cdot(-1)-1\cdot 3=-4-3=-7.
A inversa de P=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}. Aplicando:
P^{-1}=\frac{1}{-7}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] -3 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/7 & 1/7\\[4pt] 3/7 & -4/7\end{pmatrix}.
Multiplicando (se quiser verificar) obtém-se
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora a pergunta sobre diagonalização ortogonal: isso significa existir uma matriz ortogonal Q (ou seja Q^{-1}=Q^{T}) tal que Q^{T} A Q seja diagonal. Teorema espectral (para matrizes reais) diz que uma matriz real é diagonalizável por matriz ortogonal se, e somente se, for simétrica ( A=A^{T}).
Verificando A^{T}:
A^{T}=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 4 & 1\end{pmatrix}\neq A=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
Portanto A não é simétrica, logo NÃO existe matriz ortogonal P que diagonalize A. Outra verificação rápida: os autovetores que encontramos não são ortogonais entre si, pois
v_1\cdot v_2 = \begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=4-3=1\neq 0,
o que já indica que não há uma base ortonormal de autovetores reais (pelo menos com esses autovetores originais), consistente com o fato de A não ser simétrica.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}
Não — não é possível diagonalizar A por uma matriz ortogonal (pois A não é simétrica).]

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