Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois planos secantes dados? E se os planos forem paralelos?
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de dois planos dados.
- Fazer isso nos dois casos: (i) quando os dois planos são secantes (isto é, se interceptam numa reta) e (ii) quando os dois planos são paralelos.
Informações que vamos usar (dados gerais que o enunciado dá implicitamente):
- Dois planos quaisquer no espaço podem ser representados por equações lineares do tipo
onde
e
são vetores normais aos planos,
é o vetor posição de um ponto qualquer, e
são constantes.
- Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e manipular a igualdade das distâncias.
Passo 2
Fórmula da distância ponto–plano (aula rápida e concreta):
- Para um plano escrito como
, a distância (não assinada) de um ponto com posição ao plano é
Explicando cada peça:
-
é o produto escalar (soma de produtos coordenada a coordenada). -
é o comprimento do vetor normal, usado para normalizar. - O módulo
aparece porque a distância é sempre não negativa (não queremos distância “com sinal”).
Passo 3
Escrevendo a condição “equidistante” entre
e
:
- Queremos todos os pontos
tais que
Usando a fórmula, isso vira
Tirando os módulos, há duas possibilidades (pois
implica
ou
). Logo
Passo 4
Interpretando essas duas equações (aí está a chave):
- Cada escolha do sinal
ou dá uma equação linear em . Reescrevendo:
- Uma equação linear desse tipo representa um plano. Portanto a solução é, em geral, a união de dois planos (um para o sinal
e outro para o sinal ). - Esses dois planos são exatamente os planos bissetores dos ângulos diedros formados por
e : chamamos de planos que “bissetam” os ângulos formados pelos dois planos dados.
Passo 5
Propriedades geométricas importantes (por que é intuitivo):
- Qualquer ponto da reta de interseção
está a distância zero de ambos os planos, então pertence às duas equações acima. Assim os dois planos bissetores contêm a reta de interseção; isto é, eles passam por essa reta. - Os vetores normais dos bissetores são proporcionais a
. Esses vetores são ortogonais à direção da reta de interseção , portanto os bissetores são planos que contêm a reta de interseção e cortam os dois planos originais em ângulos iguais (bissetam o ângulo diedro). - Conclusão qualitativa (ainda sem repetir a resposta curta): para planos secantes obtemos duas “folhas” planas que passam pela reta de interseção — são as duas bissetrizes.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar (faça na prova deste jeito se pedirem um exemplo):
- Tome
(normal ) e (normal ). A condição vira
- Isso é equivalente a
ou . Cada uma dessas é uma equação de plano (cada plano contém o eixo , a reta de interseção). São as duas bissetrizes a entre os planos e . Visualiza bem: duas lâminas que cruzam ao longo do eixo .
Passo 7
Caso especial — planos paralelos:
- Se
e são paralelos então têm o mesmo vetor normal (ou vetores colineares), digamos . Para simplificar, escreva ambos com o mesmo normal :
- A condição de equidistância reduz-se a
- Desenvolvendo (ou elevando ao quadrado) obtemos
- Se
os planos coincidem (caso degenerado). Caso contrário ( ), a igualdade implica
que é uma única equação de plano. Geometricamente: é o plano médio, paralelo aos dois planos dados e localizado exatamente no “meio” entre eles.
Passo 8
Resumo didático rápido (como usar na prova):
- Para planos secantes: escreva as equações dos planos na forma
, iguale as distâncias e separe os casos . Cada caso dá uma equação linear — são dois planos bissetores que passam pela reta de interseção. - Para planos paralelos: iguale as distâncias; reduz-se a uma equação que, salvo coincidência, dá um único plano paralelo a ambos — o plano médio (ou o plano que está à mesma distância de cada um).
Resposta
Interseção (planos secantes): a união de duas planícies — os dois planos bissetores do ângulo diedro formado por
e
(cada um dado por
).
Paralelos: um único plano — o plano médio paralelo aos dois (equação , quando as constantes não são iguais).
Paralelos: um único plano — o plano médio paralelo aos dois (equação