Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois planos secantes dados? E se os planos forem paralelos?

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de dois planos dados.
  • Fazer isso nos dois casos: (i) quando os dois planos são secantes (isto é, se interceptam numa reta) e (ii) quando os dois planos são paralelos.
Informações que vamos usar (dados gerais que o enunciado dá implicitamente):
  • Dois planos quaisquer no espaço podem ser representados por equações lineares do tipo
\Pi_1:\\ \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{r}+d_1=0 \qquad\text{e}\qquad \Pi_2:\\ \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{r}+d_2=0,
onde \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são vetores normais aos planos, \mathbf{r}=(x,y,z) é o vetor posição de um ponto qualquer, e d_1,d_2 são constantes.
  • Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e manipular a igualdade das distâncias.

Passo 2

Fórmula da distância ponto–plano (aula rápida e concreta):
  • Para um plano escrito como \Pi:\\ \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}+d=0, a distância (não assinada) de um ponto com posição \mathbf{r} ao plano é
\operatorname{dist}(\mathbf{r},\Pi)=\frac{\left|\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}+d\right|}{\|\mathbf{n}\|}.
Explicando cada peça:
  • \mathbf{n}\cdot\mathbf{r} é o produto escalar (soma de produtos coordenada a coordenada).
  • \|\mathbf{n}\| é o comprimento do vetor normal, usado para normalizar.
  • O módulo |\cdot| aparece porque a distância é sempre não negativa (não queremos distância “com sinal”).

Passo 3

Escrevendo a condição “equidistante” entre \Pi_1 e \Pi_2:
  • Queremos todos os pontos \mathbf{r} tais que
\operatorname{dist}(\mathbf{r},\Pi_1)=\operatorname{dist}(\mathbf{r},\Pi_2).
Usando a fórmula, isso vira
\frac{\left|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{r}+d_1\right|}{\|\mathbf{n}_1\|} = \frac{\left|\mathbf{n}_2\cdot\mathbf{r}+d_2\right|}{\|\mathbf{n}_2\|}.
Tirando os módulos, há duas possibilidades (pois |A|=|B| implica A=B ou A=-B). Logo
\frac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{r}+d_1}{\|\mathbf{n}_1\|} = \pm \frac{\mathbf{n}_2\cdot\mathbf{r}+d_2}{\|\mathbf{n}_2\|}.

Passo 4

Interpretando essas duas equações (aí está a chave):
  • Cada escolha do sinal + ou - dá uma equação linear em \mathbf{r}. Reescrevendo:
\left(\frac{\mathbf{n}_1}{\|\mathbf{n}_1\|} \mp \frac{\mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_2\|}\right)\!\cdot\mathbf{r} + \left(\frac{d_1}{\|\mathbf{n}_1\|} \mp \frac{d_2}{\|\mathbf{n}_2\|}\right)=0.
  • Uma equação linear desse tipo representa um plano. Portanto a solução é, em geral, a união de dois planos (um para o sinal + e outro para o sinal -).
  • Esses dois planos são exatamente os planos bissetores dos ângulos diedros formados por \Pi_1 e \Pi_2: chamamos de planos que “bissetam” os ângulos formados pelos dois planos dados.

Passo 5

Propriedades geométricas importantes (por que é intuitivo):
  • Qualquer ponto da reta de interseção \Pi_1\cap\Pi_2 está a distância zero de ambos os planos, então pertence às duas equações acima. Assim os dois planos bissetores contêm a reta de interseção; isto é, eles passam por essa reta.
  • Os vetores normais dos bissetores são proporcionais a \dfrac{\mathbf{n}_1}{\|\mathbf{n}_1\|}\pm\dfrac{\mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_2\|}. Esses vetores são ortogonais à direção da reta de interseção \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2, portanto os bissetores são planos que contêm a reta de interseção e cortam os dois planos originais em ângulos iguais (bissetam o ângulo diedro).
  • Conclusão qualitativa (ainda sem repetir a resposta curta): para planos secantes obtemos duas “folhas” planas que passam pela reta de interseção — são as duas bissetrizes.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (faça na prova deste jeito se pedirem um exemplo):
  • Tome \Pi_1: x=0 (normal (1,0,0)) e \Pi_2: y=0 (normal (0,1,0)). A condição \operatorname{dist}(\mathbf{r},\Pi_1)=\operatorname{dist}(\mathbf{r},\Pi_2) vira
|x|=|y|.
  • Isso é equivalente a x=y ou x=-y. Cada uma dessas é uma equação de plano (cada plano contém o eixo z, a reta de interseção). São as duas bissetrizes a 45^\circ entre os planos x=0 e y=0. Visualiza bem: duas lâminas que cruzam ao longo do eixo z.

Passo 7

Caso especial — planos paralelos:
  • Se \Pi_1 e \Pi_2 são paralelos então têm o mesmo vetor normal (ou vetores colineares), digamos \mathbf{n}_1=\lambda\mathbf{n}_2. Para simplificar, escreva ambos com o mesmo normal \mathbf{n}:
\Pi_1:\\ \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}+d_1=0,\qquad \Pi_2:\\ \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}+d_2=0.
  • A condição de equidistância reduz-se a
\left|\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}+d_1\right|=\left|\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}+d_2\right|.
  • Desenvolvendo (ou elevando ao quadrado) obtemos
(\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}+d_1)^2=(\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}+d_2)^2
\Longrightarrow (d_1-d_2)\bigl(2\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}+d_1+d_2\bigr)=0.
  • Se d_1=d_2 os planos coincidem (caso degenerado). Caso contrário ( d_1\neq d_2), a igualdade implica
\mathbf{n}\cdot\mathbf{r} + \frac{d_1+d_2}{2}=0,
que é uma única equação de plano. Geometricamente: é o plano médio, paralelo aos dois planos dados e localizado exatamente no “meio” entre eles.

Passo 8

Resumo didático rápido (como usar na prova):
  • Para planos secantes: escreva as equações dos planos na forma \mathbf{n}_i\cdot\mathbf{r}+d_i=0, iguale as distâncias e separe os casos \pm. Cada caso dá uma equação linear — são dois planos bissetores que passam pela reta de interseção.
  • Para planos paralelos: iguale as distâncias; reduz-se a uma equação que, salvo coincidência, dá um único plano paralelo a ambos — o plano médio (ou o plano que está à mesma distância de cada um).

Resposta

Interseção (planos secantes): a união de duas planícies — os dois planos bissetores do ângulo diedro formado por \Pi_1 e \Pi_2 (cada um dado por \dfrac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{r}+d_1}{\|\mathbf{n}_1\|}=\pm\dfrac{\mathbf{n}_2\cdot\mathbf{r}+d_2}{\|\mathbf{n}_2\|}).
Paralelos: um único plano — o plano médio paralelo aos dois (equação \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}+\dfrac{d_1+d_2}{2}=0, quando as constantes não são iguais).

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