Verificar o teorema da dimensão (teorema núcleo-imagem / posto-nulidade) para T.]
Passo 2
Primeiro organizar parâmetros e dimensões:
Uma matriz de V é determinada pelos parâmetros a,b,c. Logo \dim V=3.
Uma matriz de W é determinada pelos parâmetros x,y,z. Logo \dim W=3.
É útil parametrizar uma matriz genérica de V como \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]0&c\end{pmatrix} e uma de W como \begin{pmatrix}x&y\\[4pt]y&z\end{pmatrix}.]
Passo 3
Confirmação rápida de linearidade (só para ficar tranquilo): se M_1,M_2\in V e \lambda\in\mathbb{R}, então as entradas de T(\lambda M_1+M_2) são combinações lineares das entradas de M_1 e M_2, portanto
T(\lambda M_1+M_2)=\lambda T(M_1)+T(M_2).
Assim T é linear e aplicam-se as noções de núcleo e imagem lineares.
Passo 4
Cálculo de \operatorname{Ker}T: resolver T\!\left(\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]0&c\end{pmatrix}\right)=0 (matriz nula).
Escrevendo a igualdade:
Da primeira equação segue a=0. Substituindo em a+c=0 dá c=0. E b=0 já foi obtido. Portanto a única solução é a=b=c=0, ou seja a matriz zero da forma triangular superior.
Comparando com \begin{pmatrix}x&y\\[4pt]y&z\end{pmatrix} obtemos o sistema:
2\alpha = x,\qquad \beta = y,\qquad \alpha+\gamma = z.
Este sistema tem solução para quaisquer x,y,z: tomar \alpha=\dfrac{x}{2}, \beta=y, \gamma = z-\dfrac{x}{2}. Logo qualquer matriz simétrica é combinação linear das T(E_i).
Portanto \operatorname{Im}T=W. Em particular \dim\operatorname{Im}T=\dim W=3.]
Passo 6
Verificação do teorema núcleo-imagem (posto-nulidade). O teorema diz que para transformação linear entre espaços de dimensão finita:
\dim V = \dim\operatorname{Ker}T + \dim\operatorname{Im}T.
Aqui \dim V=3, \dim\operatorname{Ker}T=0, \dim\operatorname{Im}T=3. Assim
3 = 0 + 3,
o que confirma o teorema. Observação final: como \operatorname{Ker}T=\{0\} e \operatorname{Im}T=W, T é um isomorfismo linear entre V e W.
Resposta
\operatorname{Ker}T=\left\{\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\right\} \operatorname{Im}T=W (ou seja, todas as matrizes simétricas 2\times2)]