Seja V o espaço das matrizes 2 \times 2 triangulares superiores e W o espaço das matrizes 2 \times 2 simétricas. Defina T: V \rightarrow W por
T\left(\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2 a & b \\\ b & a+c \end{array}\right)
Determine \operatorname{Ker} T e \operatorname{Im} T e verifique o teorema.

Passo 1

O enunciado dá:
  • V é o espaço das matrizes 2\times2 triangulares superiores, ou seja as matrizes da forma
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] 0 & c \end{pmatrix}
com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • W é o espaço das matrizes 2\times2 simétricas, ou seja as matrizes da forma
\begin{pmatrix} x & y\\[4pt] y & z \end{pmatrix}
com x,y,z\in\mathbb{R}.
  • A transformação linear T:V\to W é definida por
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}2a & b\\[4pt] b & a+c\end{pmatrix}.
O que se pede:
  1. Determinar \operatorname{Ker}T.
  2. Determinar \operatorname{Im}T.
  3. Verificar o teorema da dimensão (teorema núcleo-imagem / posto-nulidade) para T.]

Passo 2

Primeiro organizar parâmetros e dimensões:
  • Uma matriz de V é determinada pelos parâmetros a,b,c. Logo \dim V=3.
  • Uma matriz de W é determinada pelos parâmetros x,y,z. Logo \dim W=3.
É útil parametrizar uma matriz genérica de V como \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]0&c\end{pmatrix} e uma de W como \begin{pmatrix}x&y\\[4pt]y&z\end{pmatrix}.]

Passo 3

Confirmação rápida de linearidade (só para ficar tranquilo): se M_1,M_2\in V e \lambda\in\mathbb{R}, então as entradas de T(\lambda M_1+M_2) são combinações lineares das entradas de M_1 e M_2, portanto
T(\lambda M_1+M_2)=\lambda T(M_1)+T(M_2).
Assim T é linear e aplicam-se as noções de núcleo e imagem lineares.

Passo 4

Cálculo de \operatorname{Ker}T: resolver T\!\left(\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]0&c\end{pmatrix}\right)=0 (matriz nula).
Escrevendo a igualdade:
\begin{pmatrix}2a & b\\[4pt] b & a+c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Isto dá o sistema de equações lineares:
2a=0,\qquad b=0,\qquad a+c=0.
Da primeira equação segue a=0. Substituindo em a+c=0 c=0. E b=0 já foi obtido. Portanto a única solução é a=b=c=0, ou seja a matriz zero da forma triangular superior.
Conclusão:
\operatorname{Ker}T=\left\{\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\right\}.
Em particular \dim\operatorname{Ker}T=0, i.e. T é injetora.]

Passo 5

Cálculo de \operatorname{Im}T: vou usar imagens de uma base de V. Uma base natural de V é dada por
E_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_3=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
pois qualquer \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]0&c\end{pmatrix}=aE_1+bE_2+cE_3.
Calcular T nessas matrizes:
T(E_1)=\begin{pmatrix}2\cdot1 & 0\\[4pt]0 & 1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
T(E_2)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
T(E_3)=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{T(E_1),T(E_2),T(E_3)\}.
Agora mostro que esses vetores geram todo W. Seja uma matriz simétrica genérica
\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] y & z\end{pmatrix}\in W.
Procuramos escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha T(E_1)+\beta T(E_2)+\gamma T(E_3) = \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] y & z\end{pmatrix}.
Escrevendo as entradas:
\alpha\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\alpha & \beta\\[4pt]\beta & \alpha+\gamma\end{pmatrix}.
Comparando com \begin{pmatrix}x&y\\[4pt]y&z\end{pmatrix} obtemos o sistema:
2\alpha = x,\qquad \beta = y,\qquad \alpha+\gamma = z.
Este sistema tem solução para quaisquer x,y,z: tomar \alpha=\dfrac{x}{2}, \beta=y, \gamma = z-\dfrac{x}{2}. Logo qualquer matriz simétrica é combinação linear das T(E_i).
Portanto \operatorname{Im}T=W. Em particular \dim\operatorname{Im}T=\dim W=3.]

Passo 6

Verificação do teorema núcleo-imagem (posto-nulidade). O teorema diz que para transformação linear entre espaços de dimensão finita:
\dim V = \dim\operatorname{Ker}T + \dim\operatorname{Im}T.
Aqui \dim V=3, \dim\operatorname{Ker}T=0, \dim\operatorname{Im}T=3. Assim
3 = 0 + 3,
o que confirma o teorema. Observação final: como \operatorname{Ker}T=\{0\} e \operatorname{Im}T=W, T é um isomorfismo linear entre V e W.

Resposta

\operatorname{Ker}T=\left\{\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\right\}
\operatorname{Im}T=W (ou seja, todas as matrizes simétricas 2\times2)]

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