Considere D: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) o operador derivação.
(a) Escreva a matriz de D em relação às bases canônicas.
(b) Determine \operatorname{Ker} D e \operatorname{Im} D.
(c) Verifique que \operatorname{dim} \operatorname{Ker} D+\operatorname{dim} \operatorname{Im} D=\operatorname{dim} \mathcal{P}_{3}.

Passo 1

O enunciado dá um operador D:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) que é a derivação (ou seja, D(p)=p' para todo polinômio p). As perguntas são:
(a) Escrever a matriz de D em relação às bases canônicas.
(b) Determinar \operatorname{Ker}D e \operatorname{Im}D.
(c) Verificar que \operatorname{dim}\operatorname{Ker}D+\operatorname{dim}\operatorname{Im}D=\operatorname{dim}\mathcal{P}_{3}.
Informações relevantes que vamos usar (bases canônicas):
  • Base canônica de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}): \{1,x,x^{2},x^{3}\}.
  • Base canônica de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}): \{1,x,x^{2}\}.

Passo 2

Primeiro relembrar o que faz a derivada em coeficientes: se
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},
então a derivada é
p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}.
Aqui cada a_{i} é um número real e a fórmula vem da regra básica \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Esta observação já nos mostra como D age sobre os coeficientes (mapeia o vetor coluna (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})^{T} para (a_{1},2a_{2},3a_{3})^{T}).

Passo 3

Para obter a matriz de D em relação às bases canônicas, calculamos D aplicado a cada elemento da base de \mathcal{P}_{3} e escrevemos as coordenadas na base da imagem ( \{1,x,x^{2}\}):
  • D(1)=0. Em coordenadas na base \{1,x,x^{2}\} isto é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • D(x)=1. Em coordenadas: \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • D(x^{2})=2x. Em coordenadas: \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
  • D(x^{3})=3x^{2}. Em coordenadas: \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}.
Cada uma dessas coordenadas será uma coluna da matriz de D, na ordem das bases (coluna 1 corresponde a 1, coluna 2 a x, etc.).

Passo 4

Escrevendo as colunas anteriores, a matriz de D (linhas indexadas por \{1,x,x^{2}\}, colunas por \{1,x,x^{2},x^{3}\}) é
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Esta é a resposta do item (a).]

Passo 5

Agora \operatorname{Ker}D: por definição \operatorname{Ker}D=\{p\in\mathcal{P}_{3} : p'=0\}. Se p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}, então
p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}=0 \text{ para todo } x
se, e somente se, todos os coeficientes forem zero: a_{1}=0, 2a_{2}=0\Rightarrow a_{2}=0, 3a_{3}=0\Rightarrow a_{3}=0. A única liberdade é a_{0} arbitrário. Portanto os polinômios de núcleo são exatamente os polinômios constantes. Assim
\operatorname{Ker}D=\{a_{0} : a_{0}\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{1\}.
Logo \operatorname{dim}\operatorname{Ker}D=1.

Passo 6

Agora \operatorname{Im}D: por definição é o conjunto de todas as derivadas de polinômios de grau \le 3. Tomemos um polinômio arbitrário de \mathcal{P}_{2},
q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}.
Podemos integrar (antiderivar) para construir p\in\mathcal{P}_{3} tal que p'=q: por exemplo
p(x)=c + b_{0}x+\frac{b_{1}}{2}x^{2}+\frac{b_{2}}{3}x^{3},
onde c é uma constante qualquer. De fato p'(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}=q(x). Isso mostra que todo q\in\mathcal{P}_{2} é imagem de algum p\in\mathcal{P}_{3}. Portanto
\operatorname{Im}D=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
Assim \operatorname{dim}\operatorname{Im}D=\operatorname{dim}\mathcal{P}_{2}=3.

Passo 7

Verificação da igualdade de dimensões: calculamos
\operatorname{dim}\operatorname{Ker}D+\operatorname{dim}\operatorname{Im}D = 1+3=4.
E \operatorname{dim}\mathcal{P}_{3}=4 (base \{1,x,x^{2},x^{3}\} tem 4 elementos). Logo a igualdade
\operatorname{dim}\operatorname{Ker}D+\operatorname{dim}\operatorname{Im}D=\operatorname{dim}\mathcal{P}_{3}
é satisfeita. (Isto é um caso concreto do teorema do posto-nulo: \operatorname{rank}+\operatorname{nullity}= dimensão do espaço de partida.)

Resposta

(a) \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
(b) \operatorname{Ker}D=\operatorname{span}\{1\} e \operatorname{Im}D=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
(c) \operatorname{dim}\operatorname{Ker}D+\operatorname{dim}\operatorname{Im}D=1+3=4=\operatorname{dim}\mathcal{P}_{3}.]

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