Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{2 x+1} em p=4

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição de continuidade, que a função
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{2x+1}
é contínua no ponto p=4.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x}}{2x+1}.
  • O ponto onde queremos a continuidade é p=4.
  • Verificar que o denominador em p não é zero: 2\cdot 4+1=9\neq 0. Logo f(4)=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{9} está bem definida.
  • Objetivo: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |x-4|<\delta (e x no domínio), vale |f(x)-f(4)|<\varepsilon.

Passo 2

Lembraremos a definição de continuidade num ponto (pela definição \varepsilon- \delta):
A função f é contínua em p=4 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
|x-4|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-f(4)|<\varepsilon.
Então a tarefa é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, construir um \delta>0 que garanta a desigualdade acima.

Passo 3

Vamos manipular a diferença |f(x)-f(4)| de forma a obter uma estimativa em termos de |x-4|.
Escrevendo g(x)=\sqrt[3]{x} e h(x)=2x+1, temos f(x)=g(x)/h(x). Então
f(x)-f(4)=\frac{g(x)}{h(x)}-\frac{g(4)}{h(4)} =\frac{h(4)g(x)-g(4)h(x)}{h(x)h(4)}.
Reescrevendo o numerador:
h(4)g(x)-g(4)h(x)=h(4)\bigl(g(x)-g(4)\bigr)-g(4)\bigl(h(x)-h(4)\bigr).
Tomando valor absoluto e usando desigualdade triangular:
|f(x)-f(4)|\le \frac{|h(4)|\,|g(x)-g(4)|+|g(4)|\,|h(x)-h(4)|}{|h(x)|\,|h(4)|}.

Passo 4

Agora vamos controlar os fatores que aparecem no denominador para evitar divisão por algo pequeno. Escolhemos primeiro um controle simples sobre x perto de 4: tomemos \delta_1=1. Se |x-4|<\delta_1 então x\in(3,5). Para esses x temos
|h(x)|=|2x+1|\ge 2\cdot 3+1=7, \qquad |h(4)|=2\cdot 4+1=9.
Substituindo esses limites na desigualdade do passo anterior, obtemos, sempre que |x-4|<1,
|f(x)-f(4)|\le \frac{|g(x)-g(4)|}{7}+\frac{|g(4)|\,|h(x)-h(4)|}{7\cdot 9}.
Note que h(x)-h(4)=2(x-4), então
|f(x)-f(4)|\le \frac{|g(x)-g(4)|}{7}+\frac{2|g(4)|}{63}\,|x-4|.

Passo 5

Falta agora estimar |g(x)-g(4)| onde g(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Vamos usar a fatoração clássica de diferenças de cubos: para u,v temos u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2). Tomando u=x^{1/3} e v=4^{1/3}, obtemos a identidade
x^{1/3}-4^{1/3}=\frac{x-4}{x^{2/3}+x^{1/3}4^{1/3}+4^{2/3}}.
Tomando valor absoluto,
|g(x)-g(4)|=\frac{|x-4|}{x^{2/3}+x^{1/3}4^{1/3}+4^{2/3}}.

Passo 6

Novamente, para |x-4|<1 temos x\in[3,5]. No intervalo [3,5] o denominador da expressão anterior é contínuo e estritamente positivo, logo admite um mínimo positivo. Em particular,
x^{2/3}+x^{1/3}4^{1/3}+4^{2/3}\ge 3^{2/3}+3^{1/3}4^{1/3}+4^{2/3}=:\;M>0.
Portanto, para |x-4|<1,
|g(x)-g(4)|\le \frac{|x-4|}{M}.

Passo 7

Substituindo esta estimativa em |f(x)-f(4)| obtida no Passo 4, para |x-4|<1 temos
|f(x)-f(4)|\le \frac{1}{7}\cdot\frac{|x-4|}{M}+\frac{2|g(4)|}{63}\,|x-4| = \Bigl(\frac{1}{7M}+\frac{2|g(4)|}{63}\Bigr)\,|x-4|.
Definindo a constante
L:=\frac{1}{7M}+\frac{2|g(4)|}{63},
obtemos a desigualdade simples
|f(x)-f(4)|\le L\,|x-4| \qquad\text{sempre que }|x-4|<1.

Passo 8

Agora faça o argumento \varepsilon- \delta: seja um \varepsilon>0 arbitrário. Escolha
\delta=\min\Bigl\{1,\frac{\varepsilon}{L}\Bigr\}.
Então, se |x-4|<\delta temos |x-4|<1 (portanto as estimativas anteriores valem) e
|f(x)-f(4)|\le L\,|x-4|<L\cdot\frac{\varepsilon}{L}=\varepsilon.
Isso mostra que, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (explicitado acima) tal que |x-4|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(4)|<\varepsilon. Portanto, pela definição, f é contínua em p=4.

Resposta

A função f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x}}{2x+1} é contínua em p=4.

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