Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
em
Passo 1
O enunciado pede para provar, pela definição de continuidade, que a função
é contínua no ponto
.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - O ponto onde queremos a continuidade é
. - Verificar que o denominador em
não é zero: . Logo está bem definida. - Objetivo: mostrar que para todo
existe tal que, sempre que (e no domínio), vale .
Passo 2
Lembraremos a definição de continuidade num ponto (pela definição
-
):
A função
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que
Então a tarefa é, dado um
arbitrário, construir um
que garanta a desigualdade acima.
Passo 3
Vamos manipular a diferença
de forma a obter uma estimativa em termos de
.
Escrevendo
e
, temos
. Então
Reescrevendo o numerador:
Tomando valor absoluto e usando desigualdade triangular:
Passo 4
Agora vamos controlar os fatores que aparecem no denominador para evitar divisão por algo pequeno. Escolhemos primeiro um controle simples sobre
perto de
: tomemos
. Se
então
. Para esses
temos
Substituindo esses limites na desigualdade do passo anterior, obtemos, sempre que
,
Note que
, então
Passo 5
Falta agora estimar
onde
. Vamos usar a fatoração clássica de diferenças de cubos: para
temos
. Tomando
e
, obtemos a identidade
Tomando valor absoluto,
Passo 6
Novamente, para
temos
. No intervalo
o denominador da expressão anterior é contínuo e estritamente positivo, logo admite um mínimo positivo. Em particular,
Portanto, para
,
Passo 7
Substituindo esta estimativa em
obtida no Passo 4, para
temos
Definindo a constante
obtemos a desigualdade simples
Passo 8
Agora faça o argumento
-
: seja um
arbitrário. Escolha
Então, se
temos
(portanto as estimativas anteriores valem) e
Isso mostra que, para todo
existe
(explicitado acima) tal que
. Portanto, pela definição,
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
.