Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, z) .
A matriz de T na base canônica é:
(a) \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)
(b) \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)
(c) \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)
(d) \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)
(e) \mathrm{I}_{3}

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;z).
A pergunta é: qual é a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3? São fornecidas cinco alternativas (a) a (e) e é preciso escolher a correta.
Informações relevantes dadas:
  • A regra explícita de T: (x,y,z)\mapsto(x+y,\;y+z,\;z).
  • A base canônica de \mathbb{R}^3 é formada pelos vetores \,e_1=(1,0,0),\;e_2=(0,1,0),\;e_3=(0,0,1).
  • Para comparar no final, as alternativas mostradas no enunciado (a)–(e).

Passo 2

Como obter a matriz de uma transformação linear na base canônica (explicação didática):
  • Qualquer vetor (x,y,z) pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base canônica:
(x,y,z)=x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3.
  • Pela linearidade de T,
T(x,y,z)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3).
  • Se colocarmos a matriz A de T na base canônica, então A age sobre o vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} produzindo T(x,y,z). Isso implica que as colunas de A são exatamente os vetores T(e_1),T(e_2),T(e_3) escritos como colunas.
  • Resumo prático: calcular T(e_1),T(e_2),T(e_3) e organizá-los como colunas dá a matriz buscada.

Passo 3

Calcular T(e_1).
  • e_1=(1,0,0).
  • Aplicando a definição,
T(e_1)=T(1,0,0)=(1+0,\;0+0,\;0)=(1,0,0).

Passo 4

Calcular T(e_2).
  • e_2=(0,1,0).
  • Aplicando a definição,
T(e_2)=T(0,1,0)=(0+1,\;1+0,\;0)=(1,1,0).

Passo 5

Calcular T(e_3).
  • e_3=(0,0,1).
  • Aplicando a definição,
T(e_3)=T(0,0,1)=(0+0,\;0+1,\;1)=(0,1,1).

Passo 6

Montar a matriz cujas colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3):
A=\begin{pmatrix} \;T(e_1)\; & \;T(e_2)\; & \;T(e_3)\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Cheque rápido (opcional): para (x,y,z) coluna, A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&1&1\\\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y\y+z\z\end{pmatrix}, que coincide com T(x,y,z).]

Passo 7

Comparar com as alternativas fornecidas. A matriz encontrada
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
é exatamente a alternativa (b).]

Resposta

(b)

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