Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
\langle\overline{2}\rangle em \left(Z_{5},+\right).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o grupo \left(Z_{5},+\right), cujos elementos são as classes \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4} (adição módulo 5).
  • Pede para descrever o subgrupo cíclico \langle\overline{2}\rangle, isto é, o subgrupo gerado por \overline{2}.

Passo 2

Definição e idea básica (o que significa gerar um subgrupo):
  • Por definição, o subgrupo gerado por \overline{2} é
\langle\overline{2}\rangle=\{k\cdot\overline{2}\mid k\in\mathbb{Z}\},
onde k\cdot\overline{2} significa somar \overline{2} consigo mesmo k vezes (para k\ge 0) e usar o inverso para k<0. Na aritmética modular isso equivale a
k\cdot\overline{2}=\overline{2k}\quad(\text{reduzido módulo }5).ó
Explicando as letras: k é um inteiro qualquer; \overline{2} é a classe de 2 em Z_{5}; \overline{2k} é a classe de 2k módulo 5.

Passo 3

Calcular explicitamente os primeiros múltiplos de \overline{2} (reduzidos módulo 5):
0\cdot\overline{2}=\overline{0},
1\cdot\overline{2}=\overline{2},
2\cdot\overline{2}=\overline{4},
3\cdot\overline{2}=\overline{6}=\overline{6-5}=\overline{1},
4\cdot\overline{2}=\overline{8}=\overline{8-5}=\overline{3}.
Aqui foi usada a redução módulo 5: por exemplo \overline{6}=\overline{1} porque 6\equiv 1\pmod{5}.

Passo 4

Verificação de cobertura e conclusão pelo ciclo:
  • Os elementos obtidos para k=0,1,2,3,4 são \overline{0},\overline{2},\overline{4},\overline{1},\overline{3}.
  • Esses cinco elementos são exatamente todas as classes em Z_{5}. Portanto \langle\overline{2}\rangle contém todos os elementos do grupo e, sendo subgrupo com 5 elementos, coincide com Z_{5}.

Passo 5

Um jeito rápido de ver que isso sempre acontece (fórmula do ordem):
  • Em Z_{n} a ordem do elemento \overline{a} é \dfrac{n}{\gcd(n,a)}.
  • Aqui n=5 e \gcd(5,2)=1, então a ordem de \overline{2} é \dfrac{5}{1}=5. Como a ordem do gerador é igual à ordem do grupo, ele gera todo Z_{5}.

Passo 6

Dica para prova (modo rápido): calcular k\cdot\overline{2}=\overline{2k} para k=0,1,\dots até repetir \overline{0}, ou usar a fórmula da ordem com \gcd. Se \gcd(n,a)=1 então \overline{a} gera Z_{n}.

Resposta

\langle\overline{2}\rangle=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}=Z_{5}

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