onde k\cdot\overline{2} significa somar \overline{2} consigo mesmo k vezes (para k\ge 0) e usar o inverso para k<0. Na aritmética modular isso equivale a
Aqui foi usada a redução módulo 5: por exemplo \overline{6}=\overline{1} porque 6\equiv 1\pmod{5}.
Passo 4
Verificação de cobertura e conclusão pelo ciclo:
Os elementos obtidos para k=0,1,2,3,4 são \overline{0},\overline{2},\overline{4},\overline{1},\overline{3}.
Esses cinco elementos são exatamente todas as classes em Z_{5}. Portanto \langle\overline{2}\rangle contém todos os elementos do grupo e, sendo subgrupo com 5 elementos, coincide com Z_{5}.
Passo 5
Um jeito rápido de ver que isso sempre acontece (fórmula do ordem):
Em Z_{n} a ordem do elemento \overline{a} é \dfrac{n}{\gcd(n,a)}.
Aqui n=5 e \gcd(5,2)=1, então a ordem de \overline{2} é \dfrac{5}{1}=5. Como a ordem do gerador é igual à ordem do grupo, ele gera todo Z_{5}.
Passo 6
Dica para prova (modo rápido): calcular k\cdot\overline{2}=\overline{2k} para k=0,1,\dots até repetir \overline{0}, ou usar a fórmula da ordem com \gcd. Se \gcd(n,a)=1 então \overline{a} gera Z_{n}.