A partir de cada tábua abaixo, responda:
a b c d
a c d a b
b d c b a
c a b c d
d b a d c
a b c d
a c a d b
b a b c d
c b c d a
d d d a c
a b c d e f g h
a a b c d e f g h
b b c d a f g h e
c c d a b g h e f
d d a b c h e f g
e e f g h a b c d
f f g h e b c d a
g g h e f c d a b
h h e f g d a b c
(I) A operação é comutativa?
(II) Existe elemento neutro? Se sim, qual?
(III) Que elementos são simetrizáveis?
(IV) Que elementos são regulares?

Passo 1

O enunciado fornece três tabelas (duas de ordem 4 e uma de ordem 8) que definem, em cada caso, uma operação binária sobre o conjunto dos símbolos mostrados. Para cada tabela pede-se responder quatro perguntas:
(I) A operação é comutativa?
(II) Existe elemento neutro? Se sim, qual?
(III) Quais elementos são simetrizáveis? (ou seja, têm inverso à esquerda e à direita simultaneamente)
(IV) Quais elementos são regulares? (usarei a definição de semigrupo: um elemento x é regular se existe y tal que x y x = x.)
As tabelas dadas são exatamente as entradas da operação (a linha do elemento à esquerda e a coluna do elemento em cima). Em todos os cálculos abaixo vou referir-me às entradas da tabela usando essa convenção.

Passo 2

Antes de começar a tabular, um rápido lembrete das definições que vou usar (apresentadas com exemplos simples para fixar a ideia):
  • Comutatividade: a operação é comutativa se, para todo x,y, vale x y = y x. Ex.: se numa tabela a*b=d e b*a=d, isso é consistente com comutatividade para o par (a,b). Para provar que é comutativa é suficiente verificar que a tabela é simétrica em relação à diagonal principal (cada entrada (x,y) coincide com (y,x)).
  • Elemento neutro (identidade): e é neutro se, para todo x, e x = x e x e = x. Em uma tabela isso significa: a linha de e reproduce os rótulos das colunas e a coluna de e reproduce os rótulos das linhas.
  • Simetrizável / inverso: x é simetrizável se existe y tal que x y = e e y x = e, onde e é o neutro. (Se não houver neutro, não há elemento simetrizável no sentido usual.)
  • Regular (definição que vou usar): x é regular se existe y tal que x y x = x. Isto pode ser verificado testando os valores da tabela para cada y possível.
Agora aplico essas ideias tabela a tabela.

Passo 3

Tabela 1 tem os elementos \{a,b,c,d\} e as entradas mostradas. Para verificar comutatividade basta verificar simetria. Dou alguns exemplos retirados da tabela:
  • a b (linha a, coluna b) vale d; b a (linha b, coluna a) vale d. São iguais.
  • a c vale a; c a vale a.
  • b d vale a; d b vale a.
    Observando toda a tabela nota-se que cada entrada (x,y) coincide com (y,x) (a tabela é simétrica). Logo a operação é comutativa.

Passo 4

Procuramos e tal que a linha de e seja (a,b,c,d) nas colunas correspondentes e a coluna de e seja (a,b,c,d) nas linhas correspondentes. Na tabela observamos:
  • Linha c: \;c*a=a,\;c*b=b,\;c*c=c,\;c*d=d.
  • Coluna c: \;a*c=a,\;b*c=b,\;c*c=c,\;d*c=d.
    Portanto c satisfaz c x = x e x c = x para todo x. Logo o elemento neutro é c.

Passo 5

Com o neutro c conhecido, procuramos para cada x um y tal que x y = c e y x = c. Pela comutatividade basta achar y com x y = c.
Da tabela:
  • a a = c então a^{-1}=a.
  • b b = c então b^{-1}=b.
  • c c = c e c é o neutro então c^{-1}=c.
  • d d = c então d^{-1}=d.
    Todos os elementos têm inverso (cada elemento é auto-inverso). Logo todos são simetrizáveis: \{a,b,c,d\}.

Passo 6

Usando a definição x y x = x: se x tem inverso x^{-1} então x x^{-1} x = x porque x x^{-1}=e e e x = x. Como todos têm inverso, todos são regulares. Posso mostrar um cálculo direto para a como exemplo:
  • a a = c e c a = a, logo a a a = a. Mesma verificação funciona para b,c,d. Conclusão: todos \{a,b,c,d\} são regulares.

Passo 7

Tabela 2 também é sobre \{a,b,c,d\}. Para verificar comutatividade basta achar um contraexemplo. Da tabela:
  • a c (linha a, coluna c) vale d.
  • c a (linha c, coluna a) vale b.
    Como d \neq b, a operação não é comutativa. Logo resposta: não comutativa.

Passo 8

Procuramos e com linha e coluna reproduzindo os rótulos. Observando a tabela:
  • Linha b: \;b*a=a,\;b*b=b,\;b*c=c,\;b*d=d.
  • Coluna b: \;a*b=a,\;b*b=b,\;c*b=c,\;d*b=d.
    Assim b x = x e x b = x para todo x. Logo o neutro é b.

Passo 9

Com neutro b, buscamos para cada x um y tal que x y = b e y x = b.
Examinando a tabela:
  • Para b: b b = b, logo b^{-1}=b.
  • Para a: procuramos y com a y = b e y a = b. Na tabela a tem a d = b (linha a, coluna d), mas a coluna a tem c a = b (linha c, coluna a), ou seja, não existe um único y que satisfaça simultaneamente a y = b e y a = b. Portanto a não tem inverso bilateral.
  • Para c: similarmente não se encontra y com c y = b e y c = b ao mesmo tempo (há soluções unilaterais, mas não bilaterais).
  • Para d: também não existe y com d y = b e y d = b.
    Conclusão: o único elemento simetrizável (invertível) é b.

Passo 10

Usando a definição x y x = x, testamos cada x buscando algum y.
  • Para a: tentar y=d. Calculos:
    \;a d = b (da tabela) e então (a d) a = b a = a. Assim a d a = a. Logo a é regular (com y=d).
  • Para b: tomar y=b. Temos b b b = b. Logo b é regular.
  • Para c: tomar y=a. Calculos:
    \;c a = b e (c a) c = b c = c. Logo c é regular.
  • Para d: tentamos todos os candidatos y\in\{a,b,c,d\} verificando d y d:
    • d a = d e (d a) d = d d = c \neq d.
    • d b = d e (d b) d = d d = c \neq d.
    • d c = a e (d c) d = a d = b \neq d.
    • d d = c e (d d) d = c d = a \neq d.
      Nenhum y satisfaz d y d = d. Logo d não é regular.
Conclusão: os elementos regulares são \{a,b,c\}; d não é regular.

Passo 11

Tabela 3 é de ordem 8 com elementos \{a,b,c,d,e,f,g,h\}. Observando a tabela nota-se que ela é simétrica (a entrada em linha x, coluna y coincide com a entrada em linha y, coluna x) — exemplos:
  • b d (linha b, coluna d) é a e d b é a.
  • f h é a e h f é a.
    A tabela é simétrica em toda a extensão aparente. Portanto a operação é comutativa.

Passo 12

Procuramos e com linha e coluna reproduzindo os rótulos. Observando:
  • Linha a: \;a*a=a,\;a*b=b,\;a*c=c,\;a*d=d,\;a*e=e,\;a*f=f,\;a*g=g,\;a*h=h.
  • Coluna a: \;a*a=a,\;b*a=b,\;c*a=c,\;d*a=d,\;e*a=e,\;f*a=f,\;g*a=g,\;h*a=h.
    Logo a é o elemento neutro.

Passo 13

Com neutro a, encontramos para cada x um y tal que x y = a e y x = a. Da leitura da tabela:
  • a a = a então a^{-1}=a.
  • b d = a e d b = a então b^{-1}=d e d^{-1}=b.
  • c c = a então c^{-1}=c.
  • e e = a então e^{-1}=e.
  • f h = a e h f = a então f^{-1}=h e h^{-1}=f.
  • g g = a então g^{-1}=g.
    Assim todos os elementos têm inverso: os pares de inversos são (b,d), (f,h); os demais são auto-inversos (a,c,e,g). Conclusão: todos \{a,b,c,d,e,f,g,h\} são simetrizáveis.

Passo 14

Como todos os elementos têm inverso bilateral, para cada x existe x^{-1} e então x x^{-1} x = x (porque x x^{-1}=a e a x = x). Portanto todos os elementos são regulares. (Ex.: para b, com inverso d, tem-se b d b = b.)

Resposta

Tabela 1:
(I) Sim, é comutativa.
(II) Sim, o elemento neutro é c.
(III) Todos são simetrizáveis: a,b,c,d.
(IV) Todos são regulares: a,b,c,d.
Tabela 2:
(I) Não, não é comutativa.
(II) Sim, o elemento neutro é b.
(III) Apenas b é simetrizável (invertível).
(IV) São regulares a,b,c; d não é regular.
Tabela 3:
(I) Sim, é comutativa.
(II) Sim, o elemento neutro é a.
(III) Todos são simetrizáveis: a,b,c,d,e,f,g,h.
(IV) Todos são regulares: a,b,c,d,e,f,g,h.

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