A partir de cada tábua abaixo, responda:
| a | b | c | d | |
|---|---|---|---|---|
| a | c | d | a | b |
| b | d | c | b | a |
| c | a | b | c | d |
| d | b | a | d | c |
| a | b | c | d | |
|---|---|---|---|---|
| a | c | a | d | b |
| b | a | b | c | d |
| c | b | c | d | a |
| d | d | d | a | c |
| a | b | c | d | e | f | g | h | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a | a | b | c | d | e | f | g | h |
| b | b | c | d | a | f | g | h | e |
| c | c | d | a | b | g | h | e | f |
| d | d | a | b | c | h | e | f | g |
| e | e | f | g | h | a | b | c | d |
| f | f | g | h | e | b | c | d | a |
| g | g | h | e | f | c | d | a | b |
| h | h | e | f | g | d | a | b | c |
(I) A operação é comutativa?
(II) Existe elemento neutro? Se sim, qual?
(III) Que elementos são simetrizáveis?
(IV) Que elementos são regulares?
(II) Existe elemento neutro? Se sim, qual?
(III) Que elementos são simetrizáveis?
(IV) Que elementos são regulares?
Passo 1
O enunciado fornece três tabelas (duas de ordem
e uma de ordem
) que definem, em cada caso, uma operação binária sobre o conjunto dos símbolos mostrados. Para cada tabela pede-se responder quatro perguntas:
(I) A operação é comutativa?
(II) Existe elemento neutro? Se sim, qual?
(III) Quais elementos são simetrizáveis? (ou seja, têm inverso à esquerda e à direita simultaneamente)
(IV) Quais elementos são regulares? (usarei a definição de semigrupo: um elemento é regular se existe
tal que
.)
(I) A operação é comutativa?
(II) Existe elemento neutro? Se sim, qual?
(III) Quais elementos são simetrizáveis? (ou seja, têm inverso à esquerda e à direita simultaneamente)
(IV) Quais elementos são regulares? (usarei a definição de semigrupo: um elemento
As tabelas dadas são exatamente as entradas da operação (a linha do elemento à esquerda e a coluna do elemento em cima). Em todos os cálculos abaixo vou referir-me às entradas da tabela usando essa convenção.
Passo 2
Antes de começar a tabular, um rápido lembrete das definições que vou usar (apresentadas com exemplos simples para fixar a ideia):
-
Comutatividade: a operação é comutativa se, para todo
, vale . Ex.: se numa tabela e , isso é consistente com comutatividade para o par . Para provar que é comutativa é suficiente verificar que a tabela é simétrica em relação à diagonal principal (cada entrada coincide com ). -
Elemento neutro (identidade):
é neutro se, para todo , e . Em uma tabela isso significa: a linha de reproduce os rótulos das colunas e a coluna de reproduce os rótulos das linhas. -
Simetrizável / inverso:
é simetrizável se existe tal que e , onde é o neutro. (Se não houver neutro, não há elemento simetrizável no sentido usual.) -
Regular (definição que vou usar):
é regular se existe tal que . Isto pode ser verificado testando os valores da tabela para cada possível.
Agora aplico essas ideias tabela a tabela.
Passo 3
Tabela 1 tem os elementos
e as entradas mostradas. Para verificar comutatividade basta verificar simetria. Dou alguns exemplos retirados da tabela:
-
(linha , coluna ) vale ; (linha , coluna ) vale . São iguais. -
vale ; vale . -
vale ; vale .
Observando toda a tabela nota-se que cada entradacoincide com (a tabela é simétrica). Logo a operação é comutativa.
Passo 4
Procuramos
tal que a linha de
seja
nas colunas correspondentes e a coluna de
seja
nas linhas correspondentes. Na tabela observamos:
- Linha
: . - Coluna
: .
Portantosatisfaz e para todo . Logo o elemento neutro é .
Passo 5
Com o neutro
conhecido, procuramos para cada
um
tal que
e
. Pela comutatividade basta achar
com
.
Da tabela:
Da tabela:
-
então . -
então . -
e é o neutro então . -
então .
Todos os elementos têm inverso (cada elemento é auto-inverso). Logo todos são simetrizáveis:.
Passo 6
Usando a definição
: se
tem inverso
então
porque
e
. Como todos têm inverso, todos são regulares. Posso mostrar um cálculo direto para
como exemplo:
-
e , logo . Mesma verificação funciona para . Conclusão: todos são regulares.
Passo 7
Tabela 2 também é sobre
. Para verificar comutatividade basta achar um contraexemplo. Da tabela:
-
(linha , coluna ) vale . -
(linha , coluna ) vale .
Como, a operação não é comutativa. Logo resposta: não comutativa.
Passo 8
Procuramos
com linha e coluna reproduzindo os rótulos. Observando a tabela:
- Linha
: . - Coluna
: .
Assime para todo . Logo o neutro é .
Passo 9
Com neutro
, buscamos para cada
um
tal que
e
.
Examinando a tabela:
Examinando a tabela:
- Para
: , logo . - Para
: procuramos com e . Na tabela tem (linha , coluna ), mas a coluna tem (linha , coluna ), ou seja, não existe um único que satisfaça simultaneamente e . Portanto não tem inverso bilateral. - Para
: similarmente não se encontra com e ao mesmo tempo (há soluções unilaterais, mas não bilaterais). - Para
: também não existe com e .
Conclusão: o único elemento simetrizável (invertível) é.
Passo 10
Usando a definição
, testamos cada
buscando algum
.
-
Para
: tentar . Calculos:
(da tabela) e então . Assim . Logo é regular (com ). -
Para
: tomar . Temos . Logo é regular. -
Para
: tomar . Calculos:
e . Logo é regular. -
Para
: tentamos todos os candidatos verificando : -
e . -
e . -
e . -
e .
Nenhumsatisfaz . Logo não é regular.
-
Conclusão: os elementos regulares são
;
não é regular.
Passo 11
Tabela 3 é de ordem
com elementos
. Observando a tabela nota-se que ela é simétrica (a entrada em linha
, coluna
coincide com a entrada em linha
, coluna
) — exemplos:
-
(linha , coluna ) é e é . -
é e é .
A tabela é simétrica em toda a extensão aparente. Portanto a operação é comutativa.
Passo 12
Procuramos
com linha e coluna reproduzindo os rótulos. Observando:
- Linha
: . - Coluna
: .
Logoé o elemento neutro.
Passo 13
Com neutro
, encontramos para cada
um
tal que
e
. Da leitura da tabela:
-
então . -
e então e . -
então . -
então . -
e então e . -
então .
Assim todos os elementos têm inverso: os pares de inversos são, ; os demais são auto-inversos . Conclusão: todos são simetrizáveis.
Passo 14
Como todos os elementos têm inverso bilateral, para cada
existe
e então
(porque
e
). Portanto todos os elementos são regulares. (Ex.: para
, com inverso
, tem-se
.)
Resposta
Tabela 1:
(I) Sim, é comutativa.
(II) Sim, o elemento neutro é .
(III) Todos são simetrizáveis: .
(IV) Todos são regulares: .
(I) Sim, é comutativa.
(II) Sim, o elemento neutro é
(III) Todos são simetrizáveis:
(IV) Todos são regulares:
Tabela 2:
(I) Não, não é comutativa.
(II) Sim, o elemento neutro é .
(III) Apenas é simetrizável (invertível).
(IV) São regulares ;
não é regular.
(I) Não, não é comutativa.
(II) Sim, o elemento neutro é
(III) Apenas
(IV) São regulares
Tabela 3:
(I) Sim, é comutativa.
(II) Sim, o elemento neutro é .
(III) Todos são simetrizáveis: .
(IV) Todos são regulares: .
(I) Sim, é comutativa.
(II) Sim, o elemento neutro é
(III) Todos são simetrizáveis:
(IV) Todos são regulares: