Seja F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por F(x, y)=(3 x+5 y, 2 x+3 y) e seja S^{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}.
Sejam F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por F(x, y, z)=(x+y+z, y-2 z, y-3 z) e a esfera unitária S^{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}. Determine a imagem F\left(S^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} e a esfera unitária S^{2}. As informações relevantes são:
F(x,y,z) = (x+y+z,\; y-2z,\; y-3z).
S^{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}.
A pergunta pedida é: determinar a imagem F(S^{2})=\{F(v)\mid v\in S^{2}\}.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): como F é linear, podemos representá‑la por uma matriz A tal que F(v)=A v. A imagem de uma esfera centrada na origem por um mapa linear invertível é um elipsoide centrado na origem. Para descrever esse elipsoide de forma explícita usamos a equivalência
w\in F(S^{2})\iff \exists v\text{ com }\|v\|=1\text{ e }w=A v.
Se A for invertível então v=A^{-1}w e a condição \|v\|=1 vira
\|A^{-1}w\|^{2}=1.
Escrevendo isso em forma matricial obtemos a equação quadrática do elipsoide
w^{T}\bigl(A A^{T}\bigr)^{-1}w=1,
pois \|A^{-1}w\|^{2}=(A^{-1}w)^{T}(A^{-1}w)=w^{T}(A^{-T}A^{-1})w=w^{T}(A A^{T})^{-1}w. Vou então construir A, verificar se é invertível e calcular (A A^{T})^{-1}.

Passo 3

Matriz associada A. Pela definição de F temos
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -3 \end{pmatrix},
pois A(x,y,z)^{T}=(x+y+z,\; y-2z,\; y-3z)^{T}.
Verificamos agora se A é invertível calculando \det A. Desenvolvendo pela primeira linha:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[2pt]0 & -3\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Calculando os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix}=1\cdot(-3)-(-2)\cdot1=-3+2=-1,
\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[2pt]0 & -3\end{pmatrix}=0,\qquad \det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=0.
Logo
\det A = 1\cdot(-1)-1\cdot 0 +1\cdot 0 = -1 \neq 0.
Portanto A é invertível e a imagem F(S^{2}) é de fato um elipsoide (conjunto de medida positiva em \mathbb{R}^{3}), não uma superfície de dimensão menor.]

Passo 4

Calcular A A^{T}. Vou usar os produtos escalar entre linhas de A. Escrevendo as linhas r_{1}=(1,1,1),\; r_{2}=(0,1,-2),\; r_{3}=(0,1,-3), temos
A A^{T}=\begin{pmatrix} r_{1}\cdot r_{1} & r_{1}\cdot r_{2} & r_{1}\cdot r_{3}\\[4pt] r_{2}\cdot r_{1} & r_{2}\cdot r_{2} & r_{2}\cdot r_{3}\\[4pt] r_{3}\cdot r_{1} & r_{3}\cdot r_{2} & r_{3}\cdot r_{3} \end{pmatrix}.
Calculando cada produto escalar:
r_{1}\cdot r_{1}=1+1+1=3,
r_{1}\cdot r_{2}=1\cdot0+1\cdot1+1\cdot(-2)= -1,
r_{1}\cdot r_{3}=1\cdot0+1\cdot1+1\cdot(-3)= -2,
r_{2}\cdot r_{2}=0^{2}+1^{2}+(-2)^{2}=5,
r_{2}\cdot r_{3}=0\cdot0+1\cdot1+(-2)\cdot(-3)=1+6=7,
r_{3}\cdot r_{3}=0^{2}+1^{2}+(-3)^{2}=10.
Portanto
A A^{T}=\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2\\[4pt] -1 & 5 & 7\\[4pt] -2 & 7 & 10 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular (A A^{T})^{-1}. Observação útil: \det(A A^{T})=(\det A)^{2}=(-1)^{2}=1, então a inversa existe e tem determinante 1. Vou calcular a matriz dos cofatores (adjugada) e, como o determinante é 1, a adjugade será exatamente a inversa.
Calculemos cofatores (menores algebricos) elemento a elemento:
Cofator (1,1): menor =\det\begin{pmatrix}5 & 7\\[2pt]7 & 10\end{pmatrix}=5\cdot10-7\cdot7=50-49=1. Sinal + 1.
Cofator (1,2): menor =\det\begin{pmatrix}-1 & 7\\[2pt]-2 & 10\end{pmatrix}=(-1)\cdot10-7\cdot(-2)=-10+14=4. Sinal -4.
Cofator (1,3): menor =\det\begin{pmatrix}-1 & 5\\[2pt]-2 & 7\end{pmatrix}=(-1)\cdot7-5\cdot(-2)=-7+10=3. Sinal + 3.
Cofator (2,1): menor =\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\[2pt]7 & 10\end{pmatrix}=(-1)\cdot10-(-2)\cdot7=-10+14=4. Sinal -4.
Cofator (2,2): menor =\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[2pt]-2 & 10\end{pmatrix}=3\cdot10-(-2)\cdot(-2)=30-4=26. Sinal + 26.
Cofator (2,3): menor =\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]-2 & 7\end{pmatrix}=3\cdot7-(-1)\cdot(-2)=21-2=19. Sinal -19.
Cofator (3,1): menor =\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\[2pt]5 & 7\end{pmatrix}=(-1)\cdot7-(-2)\cdot5=-7+10=3. Sinal + 3.
Cofator (3,2): menor =\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[2pt]-1 & 7\end{pmatrix}=3\cdot7-(-2)\cdot(-1)=21-2=19. Sinal -19.
Cofator (3,3): menor =\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]-1 & 5\end{pmatrix}=3\cdot5-(-1)\cdot(-1)=15-1=14. Sinal + 14.
A matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 3\\[4pt] -4 & 26 & -19\\[4pt] 3 & -19 & 14 \end{pmatrix}.
Como essa matriz é simétrica, a adjugada (transposta dos cofatores) é a mesma. Como \det(A A^{T})=1, obtemos
\bigl(A A^{T}\bigr)^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3\\[4pt] -4 & 26 & -19\\[4pt] 3 & -19 & 14 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Escrever a equação do elipsoide imagem. Se denotarmos um ponto na imagem por (X,Y,Z), então a condição (X,Y,Z)^{T}\in F(S^{2}) é
\begin{pmatrix}X & Y & Z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3\\[4pt] -4 & 26 & -19\\[4pt] 3 & -19 & 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\[2pt]Y\\[2pt]Z\end{pmatrix}=1.
Portanto F(S^{2}) é exatamente o elipsoide central definido por essa forma quadrática. Geometricamente: é um elipsoide centrado em 0, com eixos principais dados pelos autovetores simétricos de A A^{T} e sem deslocamento (porque F é linear e S^{2} está centrada em 0).]

Resposta

F(S^{2})=\left\{(X,Y,Z)\in\mathbb{R}^{3}\\ \middle|\\ \begin{pmatrix}X & Y & Z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3\\[4pt] -4 & 26 & -19\\[4pt] 3 & -19 & 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\[2pt]Y\\[2pt]Z\end{pmatrix}=1\right\}.]

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