Seja F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por F(x, y)=(3 x+5 y, 2 x+3 y) e seja S^{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}.
Sejam F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por F(x, y, z)=(x+y+z, y-2 z, y-3 z) e a esfera unitária S^{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}. Determine a imagem F\left(S^{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} e a esfera unitária S^{2}. As informações relevantes são:
A pergunta pedida é: determinar a imagem F(S^{2})=\{F(v)\mid v\in S^{2}\}.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): como F é linear, podemos representá‑la por uma matriz A tal que F(v)=A v. A imagem de uma esfera centrada na origem por um mapa linear invertível é um elipsoide centrado na origem. Para descrever esse elipsoide de forma explícita usamos a equivalência
w\in F(S^{2})\iff \exists v\text{ com }\|v\|=1\text{ e }w=A v.
Se A for invertível então v=A^{-1}w e a condição \|v\|=1 vira
\|A^{-1}w\|^{2}=1.
Escrevendo isso em forma matricial obtemos a equação quadrática do elipsoide
w^{T}\bigl(A A^{T}\bigr)^{-1}w=1,
pois \|A^{-1}w\|^{2}=(A^{-1}w)^{T}(A^{-1}w)=w^{T}(A^{-T}A^{-1})w=w^{T}(A A^{T})^{-1}w. Vou então construir A, verificar se é invertível e calcular (A A^{T})^{-1}.
Portanto A é invertível e a imagem F(S^{2}) é de fato um elipsoide (conjunto de medida positiva em \mathbb{R}^{3}), não uma superfície de dimensão menor.]
Passo 4
Calcular A A^{T}. Vou usar os produtos escalar entre linhas de A. Escrevendo as linhas r_{1}=(1,1,1),\; r_{2}=(0,1,-2),\; r_{3}=(0,1,-3), temos
Calcular (A A^{T})^{-1}. Observação útil: \det(A A^{T})=(\det A)^{2}=(-1)^{2}=1, então a inversa existe e tem determinante 1. Vou calcular a matriz dos cofatores (adjugada) e, como o determinante é 1, a adjugade será exatamente a inversa.
Calculemos cofatores (menores algebricos) elemento a elemento:
Cofator (1,1): menor =\det\begin{pmatrix}5 & 7\\[2pt]7 & 10\end{pmatrix}=5\cdot10-7\cdot7=50-49=1. Sinal + dá 1.
Cofator (1,2): menor =\det\begin{pmatrix}-1 & 7\\[2pt]-2 & 10\end{pmatrix}=(-1)\cdot10-7\cdot(-2)=-10+14=4. Sinal − dá -4.
Cofator (1,3): menor =\det\begin{pmatrix}-1 & 5\\[2pt]-2 & 7\end{pmatrix}=(-1)\cdot7-5\cdot(-2)=-7+10=3. Sinal + dá 3.
Cofator (2,1): menor =\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\[2pt]7 & 10\end{pmatrix}=(-1)\cdot10-(-2)\cdot7=-10+14=4. Sinal − dá -4.
Cofator (2,2): menor =\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[2pt]-2 & 10\end{pmatrix}=3\cdot10-(-2)\cdot(-2)=30-4=26. Sinal + dá 26.
Cofator (2,3): menor =\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]-2 & 7\end{pmatrix}=3\cdot7-(-1)\cdot(-2)=21-2=19. Sinal − dá -19.
Cofator (3,1): menor =\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\[2pt]5 & 7\end{pmatrix}=(-1)\cdot7-(-2)\cdot5=-7+10=3. Sinal + dá 3.
Cofator (3,2): menor =\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[2pt]-1 & 7\end{pmatrix}=3\cdot7-(-2)\cdot(-1)=21-2=19. Sinal − dá -19.
Cofator (3,3): menor =\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]-1 & 5\end{pmatrix}=3\cdot5-(-1)\cdot(-1)=15-1=14. Sinal + dá 14.
Portanto F(S^{2}) é exatamente o elipsoide central definido por essa forma quadrática. Geometricamente: é um elipsoide centrado em 0, com eixos principais dados pelos autovetores simétricos de A A^{T} e sem deslocamento (porque F é linear e S^{2} está centrada em 0).]