Q18: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se B(2,-1)=(-4,2) e Núcleo B=\operatorname{span}\{(1,4)\} então B é simétrica.
II - Se \vec{v} e \vec{u} são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então $\langle\vec{v}, \vec{u}\rangle=0.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre uma transformação linear (matriz) B:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e pede que a gente avalie duas afirmativas I e II para decidir qual alternativa entre (A)–(D) é correta. Dados e perguntas, claramente separados:
  • Dado 1: B(2,-1)=(-4,2).
  • Dado 2: \mathrm{Núcleo}\,B=\operatorname{span}\{(1,4)\}ú.
  • Afirmação I: “Se B(2,-1)=(-4,2) e \mathrm{Núcleo}\,B=\operatorname{span}\{(1,4)\}ú então B é simétrica.”
  • Afirmação II: "Se \vec{v} e \vec{u} são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então \langle\vec{v},\vec{u}\rangle=0."
  • Objetivo: dizer quais das afirmações I e II são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre:
    (A) Todas são falsas.
    (B) Só I é verdadeira.
    (C) Só II é verdadeira.
    (D) Todas são verdadeiras.

Passo 2

Vou analisar primeiro a Afirmação I. Para isso precisamos usar uma propriedade importante (vou demonstrar e explicar): se uma matriz B é simétrica, então o núcleo de B é ortogonal à imagem (coluna) de B. Vou provar essa propriedade passo a passo porque ela é o que vamos aplicar ao dado.
Propriedade e prova (explicada passo a passo):
  • Significado: "núcleo de B" significa o conjunto \{x\in\mathbb{R}^2 \mid Bx=0\}. "Imagem de B" é o conjunto \{By \mid y\in\mathbb{R}^2\}.
  • Queremos ver que, se B é simétrica, então qualquer x com Bx=0 é ortogonal a qualquer vetor da imagem, isto é \langle x, By\rangle = 0 para todo y.
  • Use a simetria: para uma matriz simétrica B temos \langle Bx, y\rangle = \langle x, By\rangle para todo x,y. Isso é a definição útil de simetria em termos do produto interno (equivalente a B^T=B).
  • Se x\in\ker(B), então Bx=0. Logo \langle Bx, y\rangle = \langle 0, y\rangle = 0.
  • Pela igualdade dada pela simetria obtemos \langle x, By\rangle = 0 para todo y. Isso significa que todo vetor da imagem By é ortogonal a x.
  • Conclusão da propriedade: \ker(B) é ortogonal à \mathrm{Im}(B).
Explicação intuitiva: simetria garante que “mover” B do primeiro para o segundo argumento do produto interno dá a mesma coisa; se Bx=0 então o produto com qualquer imagem tem que ser zero — portanto imagem e núcleo ficam de lado a lado, ortogonais.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso concreto da Afirmação I.
  • O enunciado diz que \mathrm{Núcleo}\,B=\operatorname{span}\{(1,4)\}ú. Isso quer dizer que todo vetor no núcleo é múltiplo de (1,4). Em particular, se B fosse simétrica, todo vetor da imagem de B teria que ser ortogonal a (1,4), por aquilo que provamos.
  • Então, para testar se B pode ser simétrica, basta verificar se o vetor dado na imagem B(2,-1)=(-4,2) é ortogonal a (1,4). Se não for, temos uma contradição com a propriedade, logo B não pode ser simétrica.

Passo 4

Calcule a ortogonalidade (produto interno) de (1,4) com (-4,2) passo a passo:
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^2: \langle (a,b),(c,d)\rangle = ac+bd.
  • Aqui a=1, b=4, c=-4, d=2. Então
\langle(1,4),(-4,2)\rangle = 1\cdot(-4) + 4\cdot 2 = -4 + 8 = 4.
  • O resultado é \,4, que é diferente de 0. Logo (-4,2) não é ortogonal a (1,4).

Passo 5

Conclusão para a Afirmação I:
  • Como B(2,-1)=(-4,2) pertence à imagem de B e esse vetor não é ortogonal ao gerador do núcleo (1,4), a condição necessária para simetria (núcleo ortogonal à imagem) falha.
  • Portanto a Afirmação I é falsa: os dados do enunciado contradizem a possibilidade de B ser simétrica.

Passo 6

Agora vou analisar a Afirmação II. Ela afirma que, para uma matriz simétrica, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Vou demonstrar isso de forma direta e bem didática.
Prova passo a passo da Afirmação II:
  • Seja A uma matriz simétrica (ou seja A^T=A). Seja \vec{v} um autovetor com autovalor \lambda, isto é A\vec{v}=\lambda\vec{v}. Seja \vec{u} outro autovetor com autovalor \mu, isto é A\vec{u}=\mu\vec{u}.
  • Considere o produto interno \langle A\vec{v},\vec{u}\rangle. Usando A\vec{v}=\lambda\vec{v} temos
\langle A\vec{v},\vec{u}\rangle = \langle \lambda\vec{v},\vec{u}\rangle = \lambda\langle\vec{v},\vec{u}\rangle.
  • Pela simetria de A podemos também escrever \langle A\vec{v},\vec{u}\rangle = \langle \vec{v},A\vec{u}\rangle. Usando A\vec{u}=\mu\vec{u} obtemos
\langle \vec{v},A\vec{u}\rangle = \langle \vec{v},\mu\vec{u}\rangle = \mu\langle\vec{v},\vec{u}\rangle.
  • Igualando as duas expressões para \langle A\vec{v},\vec{u}\rangle vem
\lambda\langle\vec{v},\vec{u}\rangle = \mu\langle\vec{v},\vec{u}\rangle.
  • Reescrevendo,
(\lambda-\mu)\langle\vec{v},\vec{u}\rangle = 0.
  • Se \lambda\neq\mu (autovalores distintos), a única possibilidade é \langle\vec{v},\vec{u}\rangle=0. Ou seja, \vec{v} e \vec{u} são ortogonais.
Explicação amigável: a simetria permite “trocar” A de um lado do produto interno para o outro sem mudar o valor; usando que A age como simples multiplicação escalar nos autovetores, a igualdade força o produto interno entre vetores de autovalores diferentes a ser zero.

Passo 7

Conclusão sobre Afirmação II e resumo final:
  • A Afirmação II é verdadeira: autovetores de uma matriz simétrica correspondentes a autovalores distintos são ortogonais (provamos isso).
  • Combinando com o resultado do Passo 5 (Afirmação I falsa), concluímos que apenas a Afirmação II é verdadeira.

Resposta

(C)

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