Q18: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se
e Núcleo
então
é simétrica.
II - Se
e
são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então $\langle\vec{v}, \vec{u}\rangle=0.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Se
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre uma transformação linear (matriz)
e pede que a gente avalie duas afirmativas I e II para decidir qual alternativa entre (A)–(D) é correta. Dados e perguntas, claramente separados:
- Dado 1:
. - Dado 2:
. - Afirmação I: “Se
e então é simétrica.” - Afirmação II: "Se
e são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então " - Objetivo: dizer quais das afirmações I e II são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 2
Vou analisar primeiro a Afirmação I. Para isso precisamos usar uma propriedade importante (vou demonstrar e explicar): se uma matriz
é simétrica, então o núcleo de
é ortogonal à imagem (coluna) de
. Vou provar essa propriedade passo a passo porque ela é o que vamos aplicar ao dado.
Propriedade e prova (explicada passo a passo):
- Significado: "núcleo de
" significa o conjunto . "Imagem de " é o conjunto . - Queremos ver que, se
é simétrica, então qualquer com é ortogonal a qualquer vetor da imagem, isto é para todo . - Use a simetria: para uma matriz simétrica
temos para todo . Isso é a definição útil de simetria em termos do produto interno (equivalente a ). - Se
, então . Logo . - Pela igualdade dada pela simetria obtemos
para todo . Isso significa que todo vetor da imagem é ortogonal a . - Conclusão da propriedade:
é ortogonal à .
Explicação intuitiva: simetria garante que “mover”
do primeiro para o segundo argumento do produto interno dá a mesma coisa; se
então o produto com qualquer imagem tem que ser zero — portanto imagem e núcleo ficam de lado a lado, ortogonais.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao caso concreto da Afirmação I.
- O enunciado diz que
. Isso quer dizer que todo vetor no núcleo é múltiplo de . Em particular, se fosse simétrica, todo vetor da imagem de teria que ser ortogonal a , por aquilo que provamos. - Então, para testar se
pode ser simétrica, basta verificar se o vetor dado na imagem é ortogonal a . Se não for, temos uma contradição com a propriedade, logo não pode ser simétrica.
Passo 4
Calcule a ortogonalidade (produto interno) de
com
passo a passo:
- Produto interno padrão em
: . - Aqui
, , , . Então
- O resultado é
, que é diferente de . Logo não é ortogonal a .
Passo 5
Conclusão para a Afirmação I:
- Como
pertence à imagem de e esse vetor não é ortogonal ao gerador do núcleo , a condição necessária para simetria (núcleo ortogonal à imagem) falha. - Portanto a Afirmação I é falsa: os dados do enunciado contradizem a possibilidade de
ser simétrica.
Passo 6
Agora vou analisar a Afirmação II. Ela afirma que, para uma matriz simétrica, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Vou demonstrar isso de forma direta e bem didática.
Prova passo a passo da Afirmação II:
- Seja
uma matriz simétrica (ou seja ). Seja um autovetor com autovalor , isto é . Seja outro autovetor com autovalor , isto é . - Considere o produto interno
. Usando temos
- Pela simetria de
podemos também escrever . Usando obtemos
- Igualando as duas expressões para
vem
- Reescrevendo,
- Se
(autovalores distintos), a única possibilidade é . Ou seja, e são ortogonais.
Explicação amigável: a simetria permite “trocar”
de um lado do produto interno para o outro sem mudar o valor; usando que
age como simples multiplicação escalar nos autovetores, a igualdade força o produto interno entre vetores de autovalores diferentes a ser zero.
Passo 7
Conclusão sobre Afirmação II e resumo final:
- A Afirmação II é verdadeira: autovetores de uma matriz simétrica correspondentes a autovalores distintos são ortogonais (provamos isso).
- Combinando com o resultado do Passo 5 (Afirmação I falsa), concluímos que apenas a Afirmação II é verdadeira.
Resposta
(C)