A resposta ao impulso de um filtro all-pass de primeira ordem é dada por:
(a) Encontre a resposta de estado-zero deste filtro para a entrada
.
(b) Esboce a entrada e a resposta de estado-zero correspondentes.
(b) Esboce a entrada e a resposta de estado-zero correspondentes.
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso do filtro e a entrada, e pede duas coisas. Vou listar tudo claramente.
Dado:
Perguntas:
(a) Encontrar a resposta de estado-zero do sistema (ou seja, a saída LTI devido somente à entrada, assumindo condições iniciais nulas).
(b) Esboçar (desenhar mentalmente ou descrever) a entrada e a resposta de estado-zero correspondente.
(a) Encontrar a resposta de estado-zero do sistema (ou seja, a saída LTI devido somente à entrada, assumindo condições iniciais nulas).
(b) Esboçar (desenhar mentalmente ou descrever) a entrada
Informações úteis que tenho à mão e que vou usar depois (não estou resolvendo ainda, só anotando):
-
é a função delta de Dirac; convolução com reproduz (ou desloca) a função. -
é a função degrau unitário; é 1 para e 0 para . - A resposta de estado-zero de um sistema LTI é a convolução
.
Passo 2
Explico a estratégia matemática (fórmula que vou usar) e propriedades que vou aplicar — bem mastigado.
Fórmula de convolução para LTI (zero-estado):
Aqui
é a variável de integração (um “tempo de atraso”). Essa fórmula diz: para cada
multiplico a contribuição
pela entrada no instante
e somo tudo.
Propriedades que vamos usar:
- Convolução com delta:
. Em geral, . - A presença de
na integrando limita a integração a , porque para . - A entrada
é não nula somente quando . Ao substituir , a condição vira . Assim, o factor pode ser escrito como .
Passo 3
Substituo a decomposição de
diretamente na integral e uso a propriedade da delta.
Escrevo:
Logo
Separando termos e aplicando convolução com
:
Pela propriedade da delta o primeiro termo é simplesmente
. No segundo termo
limita
, então
Passo 4
Agora substituo explicitamente
. Lembre que
, então com
:
Substituo na integral do segundo termo:
Simplifico os expoentes:
Passo 5
A função
faz com que a integral só contribua quando
. Então, combinando com o limite
da integral, a integração efetiva começa em
e vai até
. Portanto
Essa integral é elementar: para
,
Logo o segundo termo vale
Relembrando o primeiro termo
, temos:
Passo 6
Agora avalio os dois casos (peça separados porque
muda com
).
Caso 1:
. Então
e
(pois para
a entrada é
).
Substituindo:
Substituindo:
Portanto para
a resposta de estado-zero é zero.
Caso 2:
. Então
e
(pois para
a entrada é nula; no
há ambiguidade de valor de
mas o resultado a seguir coincide com o limite).
Substituindo:
Substituindo:
Portanto para
a resposta de estado-zero é
.
Juntando os dois ramos, escrevemos de forma compacta usando o degrau:
Passo 7
Interpretação física e breve explicação pedagógica (por que saiu isso?): o termo
em
gera no tempo presente uma contribuição
. A parte causal
realiza uma “soma” das contribuições passadas da entrada, de forma que, para
, essa soma cancela exatamente o
e o resultado fica zero. Para
a entrada já é zero, mas a parte causal do filtro produz uma cauda exponencial
. Em palavras simples: o filtro desloca/espelha a energia da entrada (que estava à esquerda de zero) para a direita de zero, resultando numa saída que é uma exponencial decrescente para
.
Passo 8
Instruções para esboço (como desenhar os gráficos pedindo no item b), descrito passo a passo para você reproduzir na prova sem medo.
Como desenhar
:
- Para
: plota . Isso é uma curva exponencial que tende a 0 quando e vale 1 em . - Para
: . - No gráfico, marcar o ponto
e desenhar a curva à esquerda decrescendo para zero à medida que vai para .
Como desenhar
:
- Para
: . - Para
: plota . Isso é uma exponencial decrescente que vale 1 em e tende a 0 quando . - No gráfico, marcar o ponto
e desenhar a curva à direita decrescendo.
Observação geométrica útil: as duas curvas se encontram em
e são “imagens espelhadas” uma da outra ao redor de
: a entrada é uma exponencial à esquerda de 0, a saída é a exponencial refletida à direita de 0.
Resposta
(a)
\n
(b) Entrada: — exponencial à esquerda de
, com
; Resposta de estado-zero:
— exponencial decrescente à direita de
, com
.
(b) Entrada: