Seja f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}-3 x y+x+4+z.
(a) Seja P um ponto tal que \nabla(f)(P)=(-3,5,1).
(a.1) Determine as coordenadas de P.
(a.2) Determine a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \vec{u}=(0, \sqrt{2} / 2, \sqrt{2} / 2).
(b) Seja \mathcal{S} a superfície de nível de f que passa pelo ponto Q=(3,0,2).
(b.1) Determine uma equação para \mathcal{S}.
(b.2) Determine uma equação para o plano tangente à superfície \mathcal{S} no ponto Q.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}-3xy+x+4+z.
As perguntas são:
(a.1) Dado que \nabla f(P)=(-3,5,1), determinar as coordenadas de P.
(a.2) Calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \vec{u}=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
(b.1) Se \mathcal{S} é a superfície de nível de f que passa por Q=(3,0,2), determinar uma equação para \mathcal{S}.
(b.2) Determinar a equação do plano tangente à \mathcal{S} em Q.
Vamos calcular as derivadas parciais de f, que formam o gradiente \nabla f. Lembre-se: a derivada parcial em relação a uma variável trata as outras como constantes.
Usamos a condição \nabla f(P)=(-3,5,1). Isso gera um sistema de equações entre as componentes do gradiente geral e as componentes dadas:
2x-3y+1=-3,
4y-3x=5,
1=1.
Observação sobre a terceira equação: \frac{\partial f}{\partial z}=1 já é igual a 1 para qualquer z, então ela não impõe restrição sobre z. As duas primeiras equações determinam x e y.
Reescrevendo as duas primeiras:
2x-3y=-4 \quad\text{(i)}
-3x+4y=5 \quad\text{(ii)}
Resolvendo o sistema linear:
Multiplico (i) por 3:
Portanto x=1, y=2 e z é livre (qualquer real). Conclusão:
P=(1,2,z),\quad z\in\mathbb{R}.
Em outras palavras, há uma reta de pontos P com esse gradiente, porque a componente em z não aparece no gradiente.
Passo 4
Agora a derivada direcional. Fórmula-chave: a derivada de f na direção do vetor unitário \vec{u} em um ponto P é o produto escalar do gradiente em P com \vec{u}:
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u}.
Isso vem da interpretação geométrica: o gradiente aponta na direção de maior crescimento e o produto escalar projeta nesse sentido.
Parte (b.2): equação do plano tangente à superfície \mathcal{S} no ponto Q.
Fato importante: para uma superfície de nível f(x,y,z)=c, o gradiente \nabla f no ponto é normal ao plano tangente nesse ponto. Já temos a expressão do gradiente: