Seja f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}-3 x y+x+4+z.
(a) Seja P um ponto tal que \nabla(f)(P)=(-3,5,1).
(a.1) Determine as coordenadas de P.
(a.2) Determine a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \vec{u}=(0, \sqrt{2} / 2, \sqrt{2} / 2).
(b) Seja \mathcal{S} a superfície de nível de f que passa pelo ponto Q=(3,0,2).
(b.1) Determine uma equação para \mathcal{S}.
(b.2) Determine uma equação para o plano tangente à superfície \mathcal{S} no ponto Q.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}-3xy+x+4+z.
As perguntas são:
  1. (a.1) Dado que \nabla f(P)=(-3,5,1), determinar as coordenadas de P.
  2. (a.2) Calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \vec{u}=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
  3. (b.1) Se \mathcal{S} é a superfície de nível de f que passa por Q=(3,0,2), determinar uma equação para \mathcal{S}.
  4. (b.2) Determinar a equação do plano tangente à \mathcal{S} em Q.
Informações relevantes fornecidas:
f(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}-3xy+x+4+z,
\nabla f(P)=(-3,5,1),
\vec{u}=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right),
Q=(3,0,2).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f, que formam o gradiente \nabla f. Lembre-se: a derivada parcial em relação a uma variável trata as outras como constantes.
Cálculo de \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(2y^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(3xy\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(x\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(4\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(z\big).
Termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,\quad \frac{\partial}{\partial x}(2y^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y,
\frac{\partial}{\partial x}(x)=1,\quad \frac{\partial}{\partial x}(4)=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}(z)=0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-3y+1.
Cálculo de \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(2y^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(3xy)+\frac{\partial}{\partial y}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(4)+\frac{\partial}{\partial y}(z).
Termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(2y^{2})=4y,\quad \frac{\partial}{\partial y}(3xy)=3x,
\frac{\partial}{\partial y}(x)=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(4)=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(z)=0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=4y-3x.
Cálculo de \partial f/\partial z:
\frac{\partial f}{\partial z}=1
porque z aparece apenas como +z.
Logo o gradiente geral é
\nabla f(x,y,z)=\big(2x-3y+1,\;4y-3x,\;1\big).

Passo 3

Usamos a condição \nabla f(P)=(-3,5,1). Isso gera um sistema de equações entre as componentes do gradiente geral e as componentes dadas:
2x-3y+1=-3,
4y-3x=5,
1=1.
Observação sobre a terceira equação: \frac{\partial f}{\partial z}=1 já é igual a 1 para qualquer z, então ela não impõe restrição sobre z. As duas primeiras equações determinam x e y.
Reescrevendo as duas primeiras:
2x-3y=-4 \quad\text{(i)}
-3x+4y=5 \quad\text{(ii)}
Resolvendo o sistema linear:
Multiplico (i) por 3:
6x-9y=-12.
Multiplico (ii) por 2:
-6x+8y=10.
Somando essas duas:
(6x-9y)+(-6x+8y) = -12+10 \implies -y=-2 \implies y=2.
Substituo y=2 em (i):
2x-3\cdot 2=-4 \implies 2x-6=-4 \implies 2x=2 \implies x=1.
Portanto x=1, y=2 e z é livre (qualquer real). Conclusão:
P=(1,2,z),\quad z\in\mathbb{R}.
Em outras palavras, há uma reta de pontos P com esse gradiente, porque a componente em z não aparece no gradiente.

Passo 4

Agora a derivada direcional. Fórmula-chave: a derivada de f na direção do vetor unitário \vec{u} em um ponto P é o produto escalar do gradiente em P com \vec{u}:
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u}.
Isso vem da interpretação geométrica: o gradiente aponta na direção de maior crescimento e o produto escalar projeta nesse sentido.
Temos \nabla f(P)=(-3,5,1) (dado) e
\vec{u}=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Antes de usar, verificamos que \vec{u} é unitário:
\|\vec{u}\|=\sqrt{0^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
Bom, é unitário.
Calculamos o produto escalar:
D_{\vec{u}}f(P)=(-3)\cdot 0 + 5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + 1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\left(5+1\right)\frac{\sqrt{2}}{2}=6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}.
Portanto a derivada direcional pedida é 3\sqrt{2}.

Passo 5

Parte (b.1): superfície de nível \mathcal{S} que passa por Q=(3,0,2).
A superfície de nível associada a um valor c é o conjunto de pontos onde f(x,y,z)=c. Para achar c, avaliamos f em Q:
f(3,0,2)=3^{2}+2\cdot 0^{2}-3\cdot 3\cdot 0 +3+4+2.
Calculando:
3^{2}=9,\quad -3\cdot 3\cdot 0=0,\quad 3+4+2=9,
portanto
f(3,0,2)=9+0+9=18.
Logo a superfície de nível \mathcal{S} é
\mathcal{S}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=18\}
ou, escrevendo explicitamente,
x^{2}+2y^{2}-3xy+x+4+z=18.

Passo 6

Parte (b.2): equação do plano tangente à superfície \mathcal{S} no ponto Q.
Fato importante: para uma superfície de nível f(x,y,z)=c, o gradiente \nabla f no ponto é normal ao plano tangente nesse ponto. Já temos a expressão do gradiente:
\nabla f(x,y,z)=\big(2x-3y+1,\;4y-3x,\;1\big).
Avalio em Q=(3,0,2):
\nabla f(3,0,2)=\big(2\cdot 3-3\cdot 0+1,\;4\cdot 0-3\cdot 3,\;1\big)=\big(6+1,\;0-9,\;1\big)=(7,-9,1).
Esse é o vetor normal \vec{n} ao plano tangente em Q.
Equação do plano com normal \vec{n}=(a,b,c) passando por Q=(x_{0},y_{0},z_{0}) é
a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0.
Aqui a=7,\;b=-9,\;c=1 e (x_{0},y_{0},z_{0})=(3,0,2). Substituindo:
7(x-3)-9(y-0)+1(z-2)=0.
Expandindo:
7x-21-9y+z-2=0 \implies 7x-9y+z-23=0.
Portanto uma forma conveniente da equação do plano tangente é
7x-9y+z=23.

Resposta

(a.1) P=(1,2,z),\;z\in\mathbb{R}.
(a.2) D_{\vec{u}}f(P)=3\sqrt{2}.
(b.1) \mathcal{S}:\;x^{2}+2y^{2}-3xy+x+4+z=18.
(b.2) Plano tangente em Q: 7x-9y+z=23.

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