Seja
a função dada por
.
(a) Determine os pontos críticos de
.
(b) Determine todos os pontos do gráfico de
com plano tangente horizontal.
(c) Determine uma equação para cada plano do item (b).
(d) Seja
, dada por
a função cuja imagem é a curva que é a interseção do gráfico de
com o plano vertical de equação
. Use
para justificar a seguinte afirmação: A função
não tem máximo absoluto (ou seja, global).
(a) Determine os pontos críticos de
(b) Determine todos os pontos do gráfico de
(c) Determine uma equação para cada plano do item (b).
(d) Seja
Passo 1
O enunciado dá a função
e faz quatro pedidos:
- (a) Determinar os pontos críticos de
. - (b) Determinar todos os pontos do gráfico de
cujo plano tangente é horizontal. - (c) Determinar uma equação para cada plano do item (b).
- (d) Parametrizar a curva de interseção do gráfico de
com o plano vertical (i.e. dar uma cuja imagem seja essa curva) e usar para justificar que não tem máximo absoluto.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar depois: a expressão explícita de
e a equação do plano vertical
. Não vou resolver nada neste passo, só enumerei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Explicação e cálculo das derivadas parciais (o que precisamos para achar pontos críticos).
O conceito: um ponto
é ponto crítico de
se as derivadas parciais de
em
são ambas zero (ou não existem). Aqui
é polinomial, então as derivadas existem em todo lugar; portanto procuramos os pontos onde
e
.
Definição prática de derivadas parciais:
trata
como constante e deriva em relação a
; análogo para
.
Calculemos as derivadas:
Aqui
,
(pois
é constante),
, e
. Logo
De forma análoga,
Passo 3
Montagem do sistema para pontos críticos e resolução do sistema (passo a passo).
Ponto crítico satisfaz
Substituindo as expressões que encontramos:
Dividindo ambas as equações por
(não muda as soluções):
Podemos isolar uma variável. Da primeira obtemos
. Substituindo na segunda:
Colocando em evidência
:
Portanto
ou
. Como
é real,
tem como soluções reais
e
(pois
é par e só admite
quando igual a
).
Agora pegamos cada caso e achamos
usando
:
- Se
, então . Assim um ponto crítico é . - Se
, então . Assim um ponto crítico é . - Se
, então . Assim um ponto crítico é .
Checagem rápida: podemos também trocar o papel de
e
(pela simetria) e obter as mesmas soluções; não há outras soluções reais. Logo os pontos críticos são exatamente
Passo 4
Relacionando pontos críticos com planos tangentes horizontais e resposta do item (b) (explicação didática).
Para a superfície definida por
, a equação do plano tangente em
é
Um plano tangente é horizontal (ou seja, paralelo ao plano
) quando as inclinações na direção
e
são nulas, isto é, quando
e
. Portanto os pontos do gráfico com plano tangente horizontal correspondem precisamente aos pontos críticos
da função
, mas colocados no gráfico como
.
Já encontramos os pontos críticos
,
e
. Agora calculamos os respectivos valores de
para obter os pontos no gráfico:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Portanto os pontos do gráfico com plano tangente horizontal são
Passo 5
Determinar uma equação para cada plano tangente horizontal (item (c)).
Usando a fórmula do plano tangente e sabendo que em cada ponto
, o termo linear some e o plano tangente fica simplesmente
Ou seja: planos horizontais de forma
constante. Para os três pontos do passo anterior temos:
- Para
: plano tangente é . - Para
: plano tangente é . - Para
: plano tangente é .
Observação: os dois pontos
e
têm o mesmo plano tangente horizontal,
.
Passo 6
Parametrização da curva de interseção com o plano
e uso do limite para mostrar que não há máximo absoluto (item (d)).
A curva de interseção do gráfico de
com o plano vertical
é dada por pontos
com
e
. Uma parametrização natural é tomar
,
. Então uma parametrização
cuja imagem é essa curva é
Calculemos
:
Fatorando:
Logo podemos tomar
Assim
.
Agora o limite quando
:
porque
cresce como
quando
.
Conclusão lógica: se
, então os valores de
ao longo dessa curva tornam-se arbitrariamente grandes. Isso impede a existência de um máximo absoluto (global) para
, pois não existe um número
tal que
para todo
quando podemos encontrar pontos com
maior que qualquer
. Portanto
não tem máximo absoluto.
Resposta
(a)
\n(b)
\n(c) Planos:
e
(os dois últimos pontos têm o mesmo plano
)\n(d) Podemos parametrizar a interseção por
. Como
, os valores de
crescem sem limite nessa curva, logo
não tem máximo absoluto.