Seja \ell: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{1} uma função derivável tal que \nabla \ell(-2,7)=(-1,5).
(a) Determine a derivada direcional de \ell em (-2,7) na direção do vetor \vec{u}=(1,3).
(b) Determine uma equação para a reta tangente à curva de nível \ell(x, y)=\ell(-2,7) no ponto ( -2,7 ).
(c) Seja g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma função derivável tal que g(-3,5)=(-2,7). Suponha que M=\left[\begin{array}{ll}1 & -3 \\\\ 2 & -1\end{array}\right] é a matriz jacobiana de uma função g em (-3,5).
Considere a função composta h=\ell_{\mathrm{o}} g e determine \nabla h(-3,5).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
Informação: \nabla \ell(-2,7)=(-1,5).
Informação: o vetor de direção pedido é \vec{u}=(1,3).
Informação: existe uma função g com g(-3,5)=(-2,7) e a matriz jacobiana de g em (-3,5) é
Perguntas:
(a) Calcular a derivada direcional de \ell em (-2,7) na direção de \vec{u}=(1,3).
(b) Determinar uma equação para a reta tangente à curva de nível \ell(x,y)=\ell(-2,7) no ponto (-2,7).
(c) Para h=\ell\circ g, determinar \nabla h(-3,5).]
Passo 2
Conceito importante (derivada direcional): a derivada direcional de uma função diferenciável \ell:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} em um ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor unitário \mathbf{v} é dada por
onde \nabla\ell(x_0,y_0) é o gradiente (vetor de derivadas parciais) e o ponto central é que devemos sempre usar um vetor de direção com norma 1. Aqui \cdot indica o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes).
Explicação do porquê: o gradiente aponta para a direção de maior crescimento e o produto escalar projeta esse crescimento na direção desejada. Então, para aplicar a fórmula precisamos normalizar \vec{u} para um vetor unitário.
Passo 3
Calcular a norma de \vec{u}=(1,3):
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.
Logo o vetor unitário na direção de \vec{u} é
\mathbf{v}=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,3).
Passo 4
Aplicar a fórmula da derivada direcional usando \nabla\ell(-2,7)=(-1,5) e \mathbf{v}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}(1,3):
Conceito importante (reta tangente à curva de nível): uma curva de nível \ell(x,y)=c tem em cada ponto (x_0,y_0) um vetor normal dado por \nabla\ell(x_0,y_0). Isso quer dizer que a reta tangente naquele ponto é o conjunto de pontos (x,y) tais que o vetor (x-x_0,y-y_0) é ortogonal ao gradiente, ou seja,
\nabla\ell(x_0,y_0)\cdot (x-x_0,y-y_0)=0.
Essa é a equação cartesiana da reta tangente (forma implícita). Alternativamente dá-se uma forma paramétrica usando um vetor direção ortogonal ao gradiente.
Passo 6
Aplicar a fórmula da reta tangente em (-2,7) com \nabla\ell(-2,7)=(-1,5):
Se preferir a forma paramétrica, escolhemos um vetor direção \mathbf{t} tal que (-1,5)\cdot\mathbf{t}=0. Um vetor que funciona é \mathbf{t}=(5,1) (verificando -1\cdot 5 + 5\cdot 1 =0). Logo a reta em forma paramétrica é
(x,y)=(-2,7)+t(5,1),\quad t\in\mathbb{R}.
Passo 7
Conceito importante (regra da cadeia para gradientes): para h=\ell\circ g com g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 diferenciável, a derivada total em \mathbf{a} satisfaz