Seja \ell: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{1} uma função derivável tal que \nabla \ell(-2,7)=(-1,5).
(a) Determine a derivada direcional de \ell em (-2,7) na direção do vetor \vec{u}=(1,3).
(b) Determine uma equação para a reta tangente à curva de nível \ell(x, y)=\ell(-2,7) no ponto ( -2,7 ).
(c) Seja g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma função derivável tal que g(-3,5)=(-2,7). Suponha que M=\left[\begin{array}{ll}1 & -3 \\\\ 2 & -1\end{array}\right] é a matriz jacobiana de uma função g em (-3,5).
Considere a função composta h=\ell_{\mathrm{o}} g e determine \nabla h(-3,5).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: \nabla \ell(-2,7)=(-1,5).
  • Informação: o vetor de direção pedido é \vec{u}=(1,3).
  • Informação: existe uma função g com g(-3,5)=(-2,7) e a matriz jacobiana de g em (-3,5) é
M=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Perguntas:
(a) Calcular a derivada direcional de \ell em (-2,7) na direção de \vec{u}=(1,3).
(b) Determinar uma equação para a reta tangente à curva de nível \ell(x,y)=\ell(-2,7) no ponto (-2,7).
(c) Para h=\ell\circ g, determinar \nabla h(-3,5).]

Passo 2

Conceito importante (derivada direcional): a derivada direcional de uma função diferenciável \ell:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} em um ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor unitário \mathbf{v} é dada por
D_{\mathbf{v}}\ell(x_0,y_0)=\nabla\ell(x_0,y_0)\cdot\mathbf{v},
onde \nabla\ell(x_0,y_0) é o gradiente (vetor de derivadas parciais) e o ponto central é que devemos sempre usar um vetor de direção com norma 1. Aqui \cdot indica o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes).
Explicação do porquê: o gradiente aponta para a direção de maior crescimento e o produto escalar projeta esse crescimento na direção desejada. Então, para aplicar a fórmula precisamos normalizar \vec{u} para um vetor unitário.

Passo 3

Calcular a norma de \vec{u}=(1,3):
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.
Logo o vetor unitário na direção de \vec{u} é
\mathbf{v}=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,3).

Passo 4

Aplicar a fórmula da derivada direcional usando \nabla\ell(-2,7)=(-1,5) e \mathbf{v}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}(1,3):
D_{\vec{u}}\ell(-2,7)=\nabla\ell(-2,7)\cdot\mathbf{v}=(-1,5)\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}(1,3).
Fazendo o produto escalar:
(-1,5)\cdot(1,3) = -1\cdot 1 + 5\cdot 3 = -1 + 15 = 14.
Portanto
D_{\vec{u}}\ell(-2,7)=\frac{14}{\sqrt{10}}.

Passo 5

Conceito importante (reta tangente à curva de nível): uma curva de nível \ell(x,y)=c tem em cada ponto (x_0,y_0) um vetor normal dado por \nabla\ell(x_0,y_0). Isso quer dizer que a reta tangente naquele ponto é o conjunto de pontos (x,y) tais que o vetor (x-x_0,y-y_0) é ortogonal ao gradiente, ou seja,
\nabla\ell(x_0,y_0)\cdot (x-x_0,y-y_0)=0.
Essa é a equação cartesiana da reta tangente (forma implícita). Alternativamente dá-se uma forma paramétrica usando um vetor direção ortogonal ao gradiente.

Passo 6

Aplicar a fórmula da reta tangente em (-2,7) com \nabla\ell(-2,7)=(-1,5):
(-1,5)\cdot(x+2,y-7)=0.
Desenvolvendo o produto escalar:
-1\cdot(x+2)+5\cdot(y-7)=0.
Simplificando:
-x-2+5y-35=0 \quad\Longrightarrow\quad -x+5y-37=0.
Uma forma equivalente (multiplicando por -1) é
x-5y+37=0.
Se preferir a forma paramétrica, escolhemos um vetor direção \mathbf{t} tal que (-1,5)\cdot\mathbf{t}=0. Um vetor que funciona é \mathbf{t}=(5,1) (verificando -1\cdot 5 + 5\cdot 1 =0). Logo a reta em forma paramétrica é
(x,y)=(-2,7)+t(5,1),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Conceito importante (regra da cadeia para gradientes): para h=\ell\circ g com g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 diferenciável, a derivada total em \mathbf{a} satisfaz
Dh(\mathbf{a}) = D\ell\big(g(\mathbf{a})\big)\;Dg(\mathbf{a}),
onde D\ell é uma linha (matriz 1\times 2) e Dg é a matriz jacobiana 2\times 2. Em termos de gradientes (vetores coluna), isso equivale a
\nabla h(\mathbf{a}) = \big(Dg(\mathbf{a})\big)^{T}\,\nabla\ell\big(g(\mathbf{a})\big).
Vou usar esta última forma, que é direta: multiplicar a transposta da jacobiana de g pelo gradiente de \ell avaliado em g(\mathbf{a}).

Passo 8

Aplicar a regra da cadeia no ponto (-3,5). Temos g(-3,5)=(-2,7) e \nabla\ell(-2,7)=(-1,5). A jacobiana de g em (-3,5) é
M=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Calcule M^{T}:
M^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -3 & -1\end{pmatrix}.
Agora multiplico M^{T} pelo vetor coluna \nabla\ell(-2,7)=\begin{pmatrix}-1\\[4pt] 5\end{pmatrix}:
\nabla h(-3,5)=M^{T}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Calcule as componentes:
Primeira componente: 1\cdot(-1)+2\cdot 5 = -1 + 10 = 9.
Segunda componente: -3\cdot(-1) + (-1)\cdot 5 = 3 - 5 = -2.
Portanto
\nabla h(-3,5)=(9,-2).]

Resposta

(a) \dfrac{14}{\sqrt{10}}
(b) -x+5y-37=0 \quad (forma alternativa paramétrica: (x,y)=(-2,7)+t(5,1), t\in\mathbb{R})
(c) \nabla h(-3,5)=(9,-2)

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