Seja
onde
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto correspondente a
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto correspondente a
.
Informações e o que é pedido:
- A função é
. - O ponto de tangência tem abscissa
. - O que se precisa encontrar:
- o ponto do gráfico em
, isto é ; - a inclinação (coeficiente angular) da tangente, que é
; - a equação da reta tangente (usando, por exemplo, a forma ponto-declive).
- o ponto do gráfico em
Passo 2
Calcular o valor de
em
para obter a coordenada
.
Primeiro avalio o expoente:
Portanto
O ponto do gráfico onde tangencia é
.
Passo 3
Agora precisamos da derivada
para obter a inclinação da reta tangente. Vou explicar o conceito e a regra usada:
Mini-aula rápida (regra da cadeia):
- Se
, a derivada de é dada por
Isto vem da regra da cadeia: derivar a função externa
dá
vezes a derivada da função interna
.
No nosso caso
. Então calculemos
.
Passo 4
Derivar
termo a termo:
- a derivada de
é , - a derivada de
é , - a derivada de
é .
Assim
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
:
Agora avalio em
:
e já sabemos
. Portanto
O coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente em
é
.
Passo 6
Usar a forma ponto-declive da reta que passa por
com declive
:
Substituindo
,
e
obtemos
Passo 7
Podemos simplificar algebricamente a expressão para uma forma mais compacta. Faço a manipulação dentro de parênteses:
Fatorando
em ambos os termos (ou desenvolvendo) dá uma forma simples da equação: