Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)=e^{5 x^{4}+2 x+1}
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto correspondente a x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=e^{5x^{4}+2x+1}
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto correspondente a x_{0}=1.
Informações e o que é pedido:
  • A função é f(x)=e^{5x^{4}+2x+1}.
  • O ponto de tangência tem abscissa x_{0}=1.
  • O que se precisa encontrar:
    • o ponto do gráfico em x_{0}, isto é (x_{0},f(x_{0}));
    • a inclinação (coeficiente angular) da tangente, que é f'(x_{0});
    • a equação da reta tangente (usando, por exemplo, a forma ponto-declive).

Passo 2

Calcular o valor de f em x_{0}=1 para obter a coordenada y_{0}=f(1).
Primeiro avalio o expoente:
5\cdot1^{4}+2\cdot1+1=5+2+1=8.
Portanto
f(1)=e^{8}.
O ponto do gráfico onde tangencia é (1,e^{8}).

Passo 3

Agora precisamos da derivada f'(x) para obter a inclinação da reta tangente. Vou explicar o conceito e a regra usada:
Mini-aula rápida (regra da cadeia):
  • Se f(x)=e^{g(x)}, a derivada de f é dada por
f'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}.
Isto vem da regra da cadeia: derivar a função externa e^{u} e^{u} vezes a derivada da função interna u=g(x).
No nosso caso g(x)=5x^{4}+2x+1. Então calculemos g'(x).

Passo 4

Derivar g(x)=5x^{4}+2x+1 termo a termo:
  • a derivada de 5x^{4} é 5\cdot 4x^{3}=20x^{3},
  • a derivada de 2x é 2,
  • a derivada de 1 é 0.
Assim
g'(x)=20x^{3}+2.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para f:
f'(x)=\bigl(20x^{3}+2\bigr)\,e^{5x^{4}+2x+1}.
Agora avalio em x_{0}=1:
g'(1)=20\cdot1^{3}+2=20+2=22,
e já sabemos e^{5\cdot1^{4}+2\cdot1+1}=e^{8}. Portanto
f'(1)=22\,e^{8}.
O coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente em x_{0}=1 é m=f'(1)=22\,e^{8}.

Passo 6

Usar a forma ponto-declive da reta que passa por (x_{0},y_{0}) com declive m:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=e^{8} e m=22\,e^{8} obtemos
y-e^{8}=22\,e^{8}\,(x-1).

Passo 7

Podemos simplificar algebricamente a expressão para uma forma mais compacta. Faço a manipulação dentro de parênteses:
22\,(x-1)+1=22x-22+1=22x-21.
Fatorando e^{8} em ambos os termos (ou desenvolvendo) dá uma forma simples da equação:
y=e^{8}\,(22x-21).

Resposta

y=e^{8}\,(22x-21)

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