Seja
onde
Seja
. Utilizando a definição de derivada, calcule
.
Calcule
pelas regras de derivação e compare os resultados.
Calcule
Passo 1
O enunciado fornece a função definida em
:
As tarefas são:
- Calcular
usando a definição de derivada (limite do quociente incremental). - Calcular
usando as regras de derivação (regra do poder e/ou cadeia). - Comparar os resultados obtidos.
Informações relevantes dadas:
- O domínio é
, logo para todo tem sentido . - A derivada será calculada para
em (não em , que não pertence ao domínio).
Passo 2
Usando a definição de derivada. Lembrete: a definição de derivada de
num ponto
é
desde que esse limite exista.
Aplicando à nossa função:
Vamos simplificar esse quociente. Primeiro colocamos sobre um único numerador:
Portanto
Para eliminar a diferença de raízes no numerador usamos a conjugada. Multiplicamos numerador e denominador por
:
No numerador aparece a diferença de quadrados:
Logo o quociente fica
Cancelamos o fator
(para
):
Agora tomamos o limite
. Como
quando
, pelo teorema do limite de funções contínuas obtemos
Simplificando os fatores:
portanto
Passo 3
Usando regras de derivação (forma mais direta). Observação: é conveniente reescrever
como potência:
Regra que vamos usar (explicando): se
com
constante e
diferenciável, então pela regra da cadeia
Aqui
,
e
. Aplicando:
Passo 4
Comparação e observações finais:
- O resultado obtido pela definição de derivada e o obtido pelas regras de derivação são idênticos:
- A derivada está definida para todo
, pois para esses a expressão é positiva e finita. - Intuição rápida: a função decresce (derivada negativa) e a rapidez do decrescimento aumenta quando
se aproxima de (o denominador fica pequeno).