Seja f: D=(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}
Seja x \in D. Utilizando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(x).
Calcule f^{\prime}(x) pelas regras de derivação e compare os resultados.

Passo 1

O enunciado fornece a função definida em D = (-1,+\infty):
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}.
As tarefas são:
  • Calcular f'(x) usando a definição de derivada (limite do quociente incremental).
  • Calcular f'(x) usando as regras de derivação (regra do poder e/ou cadeia).
  • Comparar os resultados obtidos.
Informações relevantes dadas:
  • O domínio é D=(-1,+\infty), logo para todo x\in D tem sentido \sqrt{x+1}>0.
  • A derivada será calculada para x em D (não em -1, que não pertence ao domínio).

Passo 2

Usando a definição de derivada. Lembrete: a definição de derivada de f num ponto x é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
desde que esse limite exista.
Aplicando à nossa função:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\dfrac{1}{\sqrt{x+1+h}}-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}}{h}.
Vamos simplificar esse quociente. Primeiro colocamos sobre um único numerador:
\frac{1}{\sqrt{x+1+h}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}} =\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+1+h}}{\sqrt{x+1+h}\,\sqrt{x+1}}.
Portanto
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+1+h}}{h\,\sqrt{x+1+h}\,\sqrt{x+1}}.
Para eliminar a diferença de raízes no numerador usamos a conjugada. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x+1}+\sqrt{x+1+h}:
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+1+h}}{h\,\sqrt{x+1+h}\,\sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1+h}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1+h}}.
No numerador aparece a diferença de quadrados:
(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+1+h})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1+h}) =(x+1)-(x+1+h)=-h.
Logo o quociente fica
\frac{-h}{h\,\sqrt{x+1+h}\,\sqrt{x+1}\,(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1+h})}.
Cancelamos o fator h (para h\neq0):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =-\frac{1}{\sqrt{x+1+h}\,\sqrt{x+1}\,(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1+h})}.
Agora tomamos o limite h\to0. Como \sqrt{x+1+h}\to\sqrt{x+1} quando h\to0, pelo teorema do limite de funções contínuas obtemos
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{x+1}\,\sqrt{x+1}\,(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1})}.
Simplificando os fatores:
\sqrt{x+1}\,\sqrt{x+1}=(x+1), \qquad \sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=2\sqrt{x+1},
portanto
f'(x)=-\frac{1}{(x+1)\cdot 2\sqrt{x+1}} =-\frac{1}{2(x+1)^{3/2}}.

Passo 3

Usando regras de derivação (forma mais direta). Observação: é conveniente reescrever f como potência:
f(x)=(x+1)^{-1/2}.
Regra que vamos usar (explicando): se g(x)=u(x)^{n} com n constante e u diferenciável, então pela regra da cadeia
g'(x)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x)=x+1, n=-\tfrac{1}{2} e u'(x)=1. Aplicando:
f'(x)=-\tfrac{1}{2}(x+1)^{-3/2}\cdot 1 =-\frac{1}{2(x+1)^{3/2}}.

Passo 4

Comparação e observações finais:
  • O resultado obtido pela definição de derivada e o obtido pelas regras de derivação são idênticos:
f'(x)=-\frac{1}{2(x+1)^{3/2}}.
  • A derivada está definida para todo x\in(-1,+\infty), pois para esses x a expressão (x+1)^{3/2} é positiva e finita.
  • Intuição rápida: a função decresce (derivada negativa) e a rapidez do decrescimento aumenta quando x se aproxima de -1 (o denominador fica pequeno).

Resposta

f'(x)=-\dfrac{1}{2(x+1)^{3/2}}

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