Seja
f(x)=\ln (2 x+5)
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f a qual é paralela à reta de equação
y=3 x-7

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\ln(2x+5)
e pede: obter a equação da reta tangente ao gráfico de f que seja paralela à reta de equação
y=3x-7.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reta dada tem coeficiente angular (inclinação) igual a 3 (pois na forma y=mx+b o coeficiente m é 3).
  • Queremos uma reta tangente ao gráfico de f que seja paralela a essa reta, ou seja, queremos uma reta tangente com coeficiente angular 3.
  • Para determinar essa reta tangente precisamos encontrar o ponto (x_0,y_0) do gráfico de f onde a derivada de f vale 3, e então escrever a reta com esse ponto e esse coeficiente angular.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo):
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de uma função f em um ponto x_0 é dada pela derivada f'(x_0).
  • Portanto, para que a reta tangente seja paralela à reta y=3x-7, precisamos ter
f'(x_0)=3.
  • Agora, como calcular f'(x) quando f(x)=\ln(u(x))? A regra é a seguinte (regra da cadeia aplicada ao logaritmo):
    • Se f(x)=\ln(u(x)), então
    f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.Aqui u(x) é a função dentro do logaritmo e u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • No nosso caso, u(x)=2x+5. Então u'(x)=2. Aplicando a fórmula:
f'(x)=\frac{2}{2x+5}.

Passo 3

Encontrar x_0 tal que f'(x_0)=3. Substituindo a expressão de f'(x):
\frac{2}{2x+5}=3.
Resolver isso passo a passo:
2 = 3(2x+5).
2 = 6x+15.
6x = 2-15 = -13.
x = -\frac{13}{6}.

Passo 4

Calcular a ordenada y_0=f(x_0). Substituindo x_0=-\dfrac{13}{6} na função f:
f\!\left(-\frac{13}{6}\right)=\ln\!\bigl(2\cdot\bigl(-\tfrac{13}{6}\bigr)+5\bigr).
Calcular o argumento do logaritmo passo a passo:
2\cdot\bigl(-\tfrac{13}{6}\bigr) = -\tfrac{26}{6} = -\tfrac{13}{3},
-\tfrac{13}{3} + 5 = -\tfrac{13}{3} + \tfrac{15}{3} = \tfrac{2}{3}.
Logo
y_0 = f\!\left(-\frac{13}{6}\right) = \ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right).
Observação: o argumento do logaritmo ficou \tfrac{2}{3}>0, então a avaliação é válida.

Passo 5

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação é:
y-y_0 = m(x-x_0),
onde m é o coeficiente angular (aqui m=3), x_0=-\dfrac{13}{6} e y_0=\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right). Substituindo:
y-\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=3\!\left(x+\tfrac{13}{6}\right).
Podemos passar para a forma \emph{inclinação-intercepto} y=3x+b. Desenvolvendo:
y = 3x + 3\cdot\frac{13}{6} + \ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right).
Calcular 3\cdot\tfrac{13}{6}=\tfrac{39}{6}=\tfrac{13}{2}. Assim:
y = 3x + \frac{13}{2} + \ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right).

Resposta

y=3x+\dfrac{13}{2}+\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right)

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