Seja
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de
a qual é paralela à reta de equação
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: obter a equação da reta tangente ao gráfico de
que seja paralela à reta de equação
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A reta dada tem coeficiente angular (inclinação) igual a
(pois na forma o coeficiente é ). - Queremos uma reta tangente ao gráfico de
que seja paralela a essa reta, ou seja, queremos uma reta tangente com coeficiente angular . - Para determinar essa reta tangente precisamos encontrar o ponto
do gráfico de onde a derivada de vale , e então escrever a reta com esse ponto e esse coeficiente angular.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo):
- A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de uma função
em um ponto é dada pela derivada . - Portanto, para que a reta tangente seja paralela à reta
, precisamos ter
- Agora, como calcular
quando ? A regra é a seguinte (regra da cadeia aplicada ao logaritmo): - Se
, então
Aqui é a função dentro do logaritmo e é a derivada de em relação a . - Se
- No nosso caso,
. Então . Aplicando a fórmula:
Passo 3
Encontrar
tal que
. Substituindo a expressão de
:
Resolver isso passo a passo:
Passo 4
Calcular a ordenada
. Substituindo
na função
:
Calcular o argumento do logaritmo passo a passo:
Logo
Observação: o argumento do logaritmo ficou
, então a avaliação é válida.
Passo 5
Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação é:
onde
é o coeficiente angular (aqui
),
e
. Substituindo:
Podemos passar para a forma \emph{inclinação-intercepto}
. Desenvolvendo:
Calcular
. Assim: