Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)= \begin{cases}5 x^{2}+2, & \text { se } x<1 \\\\ 3, & \text { se } x=1 \\\ x^{2}-a x+4, & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função definida por partes:
f(x)= \begin{cases}5 x^{2}+2, & \text{se } x<1,\\[4pt] 3, & \text{se } x=1,\\[4pt] x^{2}-a x+4, & \text{se } x>1.\end{cases}
As perguntas que vou responder (essas são as que costumam pedir para esse tipo de função):
  • Para quais valores de a a função é contínua em x=1?
  • Para quais valores de a a função é diferenciável em x=1?
Vou listar também as informações úteis dadas:
  • Para x<1 a expressão é 5x^2+2.
  • Em x=1 a função vale 3.
  • Para x>1 a expressão é x^2-ax+4.
  • A constante a é o parâmetro que podemos escolher para tentar garantir continuidade ou diferenciabilidade em x=1.]

Passo 2

O que é continuidade em um ponto? Explicação didática:
  • Uma função f é contínua em x=1 se o limite quando x se aproxima de 1 for igual ao valor da função em 1. Isso exige duas coisas: o limite lateral pela esquerda existir e ser igual ao limite lateral pela direita, e esse limite comum deve ser igual a f(1).
  • Em notação: f é contínua em 1 se e somente se
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1).
Agora cálculo dos limites laterais usando as expressões dadas:
  • Para a aproximação pela esquerda usamos f(x)=5x^2+2. Então
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} (5x^2+2).
Como 5x^2+2 é polinomial (função contínua), basta substituir x=1:
\lim_{x\to1^-} f(x)=5\cdot1^2+2=5+2=7.
  • Para a aproximação pela direita usamos f(x)=x^2-ax+4. Novamente função polinomial em x, então
\lim_{x\to1^+} f(x)=1^2-a\cdot1+4=1-a+4=5-a.
  • O valor da função em 1 é dado: f(1)=3.

Passo 3

Testando a condição de continuidade:
  • Precisamos ter \lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1).
  • Já calculamos \lim_{x\to1^-} f(x)=7 e f(1)=3. Observe que isso já dá problema: para ser contínua deveríamos ter 7=f(1)=3, o que é falso.
  • Mesmo que ajustássemos a para que \lim_{x\to1^+} f(x)=3 (isto é, resolver 5-a=3 dava a=2), isso não corrigiria a igualdade com a aproximação pela esquerda, porque o valor à esquerda é fixo em 7 e não depende de a.
    Conclusão sobre continuidade: não existe nenhum valor de a que faça todos os três iguais, porque o limite pela esquerda já é 7 enquanto f(1)=3. Logo a função não pode ser contínua em x=1 para nenhum a.

Passo 4

O que é diferenciabilidade em um ponto? Explicação didática:
  • Se f é diferenciável em x=1, então f é necessariamente contínua em 1. Portanto, se a continuidade falha, a diferenciabilidade também é impossível.
  • Outra maneira de verificar diferenciabilidade é olhar as derivadas laterais: a derivada à esquerda em 1,
f'_-(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h},
e a derivada à direita em 1,
f'_+(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h},
devem existir e ser iguais; além disso, a função deve ser contínua em 1.

Passo 5

Cálculo das derivadas laterais (usando derivadas das expressões polinomiais, que é mais rápido e equivalente ao limite):
  • Para x<1 a fórmula é 5x^2+2. A derivada dessa expressão (para x\neq1) é 10x. Portanto a derivada lateral à esquerda em 1 é
f'_-(1)=10\cdot1=10.
Explicando a fórmula: ao derivar 5x^2 usa-se a regra potência d(x^n)/dx = n x^{n-1}, então d(5x^2)/dx = 5\cdot 2x =10x. A constante some.
  • Para x>1 a expressão é x^2-ax+4. A derivada é 2x-a. Assim a derivada lateral à direita em 1 é
f'_+(1)=2\cdot1 - a = 2-a.
  • Para que as derivadas laterais fossem iguais precisaríamos de
10 = 2-a \quad\Longrightarrow\quad a = -8.
No entanto, mesmo que escolhêssemos a=-8 para igualar as derivadas laterais, isso não resolve a descontinuidade já encontrada: a função ainda teria \lim_{x\to1^-} f(x)=7 e f(1)=3, logo não seria contínua e, portanto, não poderia ser diferenciável. Diferenciabilidade exige continuidade primeiro.

Passo 6

Conclusões finais (resumo prático para a prova):
  • Não existe valor de a que torne f contínua em x=1, porque a aproximação pela esquerda é 7 enquanto f(1)=3.
  • Por consequência, não existe valor de a que torne f diferenciável em x=1. Mesmo que a condição das derivadas laterais leve a a=-8, a descontinuidade impede a diferenciabilidade.

Resposta

Não existe valor de a que torne f contínua em x=1.
Não existe valor de a que torne f diferenciável em x=1.

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