Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que
f(x)= \begin{cases}1-x^{2}, & \text { se } x<3 \\\\ 0, & \text { se } x=3 \\\ \sqrt{7 x+2}-\sqrt{23}-9, & \text { se } x>3 .\end{cases}
Obtenha
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)
e discuta a existência de
\lim _{x \rightarrow 3} f(x) .

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por partes: \[f(x)= \begin{cases} 1-x^{2}, & \text{se } x<3,\\[4pt] 0, & \text{se } x=3,\\[4pt] \sqrt{7x+2}-\sqrt{23}-9, & \text{se } x>3. \end{cases}
O que pedem:
  • Calcular \lim_{x\to3^{-}} f(x)\]. - Calcular \(\lim_{x\to3^{+}} f(x).
    - Discutir se \lim_{x\to3} f(x) existe (ou seja, se o limite bilateral existe).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que usaremos diretamente:
  • Para x<3 a expressão de f é 1-x^{2}.
  • Para x=3 o valor de f é 0.
  • Para x>3 a expressão de f é \sqrt{7x+2}-\sqrt{23}-9.]

Passo 2

Vamos calcular \lim_{x\to3^{-}} f(x). Ao nos aproximarmos de 3 pela esquerda (ou seja, com x<3), usamos a definição da função para x<3, que é f(x)=1-x^{2}.
Uma ideia importante (explicada no passo seguinte) é que polinômios são funções contínuas, então o limite quando x\to 3 pode ser obtido substituindo x=3 na expressão 1-x^{2}. Aplicando isso:
\lim_{x\to3^{-}} f(x) = \lim_{x\to3^{-}} (1-x^{2}) = 1-3^{2} = 1-9 = -8.

Passo 3

Breve explicação (didática) do porquê foi possível substituir diretamente: a função g(x)=1-x^{2} é um polinômio. Propriedade útil: todo polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}. Continuidade em x=3 significa que
\lim_{x\to3} g(x)=g(3).
Portanto calcular \lim_{x\to3^{-}} (1-x^{2}) ou \lim_{x\to3^{+}} (1-x^{2}) é o mesmo que calcular 1-3^{2}. Um exemplo simples para fixar a ideia: \lim_{x\to2}(x^{2}+1)=2^{2}+1=5.

Passo 4

Agora calculamos \lim_{x\to3^{+}} f(x). Para x>3 temos f(x)=\sqrt{7x+2}-\sqrt{23}-9.
Observação importante sobre raiz quadrada: a função h(t)=\sqrt{t} é contínua para t\ge 0. Composição de funções contínuas (aqui x\mapsto 7x+2 e t\mapsto\sqrt{t}) resulta em função contínua onde o argumento é válido. Verificamos o argumento em x=3:
7\cdot 3 + 2 = 21+2 = 23,
que é positivo, logo não há problema de domínio próximo de x=3. Assim podemos avaliar o limite por substituição:
\lim_{x\to3^{+}} f(x)=\lim_{x\to3^{+}}\big(\sqrt{7x+2}-\sqrt{23}-9\big) = \sqrt{7\cdot 3+2}-\sqrt{23}-9.
Calculando:
\sqrt{7\cdot 3+2}-\sqrt{23}-9 = \sqrt{23}-\sqrt{23}-9 = 0-9 = -9.

Passo 5

Agora comparamos as duas limites unilaterais que encontramos:
\lim_{x\to3^{-}} f(x) = -8, \qquad \lim_{x\to3^{+}} f(x) = -9.
Critério para existência do limite bilateral: \lim_{x\to3} f(x) existe (e é finito) se, e somente se, as duas limitações unilaterais existirem e forem iguais. Aqui -8\neq -9, portanto as duas não coincidem, logo o limite bilateral \lim_{x\to3} f(x) NÃO existe.
Comentário extra (útil para prova): o valor da função em x=3 é f(3)=0, que também não coincide com nenhum dos limites unilaterais; isso caracteriza uma descontinuidade do tipo salto (jump) em x=3.

Resposta

\lim_{x\to3^{-}} f(x) = -8
\lim_{x\to3^{+}} f(x) = -9
\lim_{x\to3} f(x) não existe

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