Calcule os limites \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}.
Informações dadas:
A expressão a ser estudada é a função racional \dfrac{x^{4}-16}{8-x^{3}}.
O ponto de interesse é x=2.
Nota: se ao substituir x=2 direto aparecer uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}, será necessário manipular a expressão para simplificar e então avaliar o limite.
Passo 2
Verificar substituição direta para identificar indeterminação. Substituindo x=2:
x^{4}-16\big|_{x=2}=2^{4}-16=16-16=0,
8-x^{3}\big|_{x=2}=8-2^{3}=8-8=0.
Como obtemos 0/0, temos uma indeterminação. Isso indica que deve haver fator comum (removível) em numerador e denominador que podemos cancelar. A técnica mais simples aqui é fatorar polinômios.
Passo 3
Fatorar o numerador x^{4}-16. Reconhecemos diferença de quadrados e de potências:
x^{4}-16=(x^{2})^{2}-(4)^{2}=(x^{2}-4)(x^{2}+4).
Continuando, x^{2}-4 também é diferença de quadrados:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto
x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4).
Passo 4
Fatorar o denominador 8-x^{3}. Reconhecemos diferença de cubos, pois 8=2^{3}:
8-x^{3}=2^{3}-x^{3}=(2-x)\bigl(2^{2}+2\cdot x + x^{2}\bigr).
Simplificando os termos:
8-x^{3}=(2-x)(4+2x+x^{2}).
Observe que (2-x)=-(x-2). Isso vai facilitar o cancelamento com o fator (x-2) do numerador.
Após o cancelamento, a função simplificada é contínua em x=2. Portanto, para calcular o limite, basta avaliar a expressão simplificada em x=2. Calcular cada parte: