Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser estudada é a função racional \dfrac{x^{4}-16}{8-x^{3}}.
  • O ponto de interesse é x=2.
  • Nota: se ao substituir x=2 direto aparecer uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}, será necessário manipular a expressão para simplificar e então avaliar o limite.

Passo 2

Verificar substituição direta para identificar indeterminação. Substituindo x=2:
x^{4}-16\big|_{x=2}=2^{4}-16=16-16=0,
8-x^{3}\big|_{x=2}=8-2^{3}=8-8=0.
Como obtemos 0/0, temos uma indeterminação. Isso indica que deve haver fator comum (removível) em numerador e denominador que podemos cancelar. A técnica mais simples aqui é fatorar polinômios.

Passo 3

Fatorar o numerador x^{4}-16. Reconhecemos diferença de quadrados e de potências:
x^{4}-16=(x^{2})^{2}-(4)^{2}=(x^{2}-4)(x^{2}+4).
Continuando, x^{2}-4 também é diferença de quadrados:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto
x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4).

Passo 4

Fatorar o denominador 8-x^{3}. Reconhecemos diferença de cubos, pois 8=2^{3}:
8-x^{3}=2^{3}-x^{3}=(2-x)\bigl(2^{2}+2\cdot x + x^{2}\bigr).
Simplificando os termos:
8-x^{3}=(2-x)(4+2x+x^{2}).
Observe que (2-x)=-(x-2). Isso vai facilitar o cancelamento com o fator (x-2) do numerador.

Passo 5

Reescrever a função usando as fatorações:
\frac{x^{4}-16}{8-x^{3}} = \frac{(x-2)(x+2)(x^{2}+4)}{(2-x)(4+2x+x^{2})}.
Substituir (2-x)=-(x-2):
\frac{(x-2)(x+2)(x^{2}+4)}{-(x-2)(4+2x+x^{2})}.
Agora podemos cancelar o fator comum (x-2) (válido para x\neq2; como estamos calculando limite, consideramos x próximo de 2, não exatamente 2):
\frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}=-\frac{(x+2)(x^{2}+4)}{4+2x+x^{2}},\qquad x\neq 2.

Passo 6

Após o cancelamento, a função simplificada é contínua em x=2. Portanto, para calcular o limite, basta avaliar a expressão simplificada em x=2. Calcular cada parte:
x+2\big|_{x=2}=2+2=4,
x^{2}+4\big|_{x=2}=2^{2}+4=4+4=8,
4+2x+x^{2}\big|_{x=2}=4+2\cdot 2+2^{2}=4+4+4=12.
Agora montar o valor:
-\frac{(x+2)(x^{2}+4)}{4+2x+x^{2}}\Bigg|_{x=2}=-\frac{4\cdot 8}{12}=-\frac{32}{12}.

Passo 7

Simplificar a fração final:
-\frac{32}{12}=-\frac{8}{3}.
Portanto o limite existe e é -\tfrac{8}{3}.

Resposta

-\dfrac{8}{3}

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