Seja
a transformação linear definida por
. Em cada caso, decida se o vetor está em
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
e pergunta se o vetor (polinômio)
pertence a
(o núcleo de
). Informações relevantes: o polinômio dado é
e a definição de
é multiplicar por
. A pergunta é apenas:
está em
?
Passo 2
Lembrete útil (definição): o núcleo de
é o conjunto
onde
é o polinômio nulo (o polinômio cujos coeficientes são todos zero). Em palavras:
está no núcleo se, ao aplicar
, obtemos o polinômio zero.
Passo 3
Vamos aplicar
ao polinômio dado. Calculamos
Aqui estou multiplicando
pelo polinômio
, termo a termo — não é nada misterioso, é a multiplicação habitual de polinômios.
Passo 4
Efetuando a multiplicação obtemos
Escrevendo em forma de coeficientes: o coeficiente do termo
é
, do termo
é
e do termo constante é
.
Passo 5
Comparação com o polinômio nulo: o polinômio nulo é aquele cujos coeficientes são todos zero, isto é
. Como
tem coeficientes não nulos (por exemplo o coeficiente de
é
), concluímos que
Portanto
não satisfaz a condição para estar no núcleo.
Passo 6
(Comentário extra didático e rápido) Outra forma de ver: se
fosse o polinômio zero, então
teria de ser zero — em anéis de polinômios sobre um corpo não há divisores de zero; ou ainda, se
então para todo
vale
, e um polinômio com infinitos zeros é o polinômio nulo. Assim o único polinômio no núcleo é o polinômio zero, e
não é o polinômio zero.
Resposta
Não,
não pertence a
.