Seja T: \mathbb{P}_{3} \rightarrow \mathbb{P}_{3} a transformação linear definida por T(p(x))=x p(x). Em cada caso, decida se o vetor está em \operatorname{Nuc}(T).
p(x)=1+x

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: \mathbb{P}_{3} \to \mathbb{P}_{3} definida por
T(p(x)) = x\,p(x),
e pergunta se o vetor (polinômio) p(x)=1+x pertence a \operatorname{Nuc}(T) (o núcleo de T). Informações relevantes: o polinômio dado é p(x)=1+x e a definição de T é multiplicar por x. A pergunta é apenas: p está em \operatorname{Nuc}(T)?

Passo 2

Lembrete útil (definição): o núcleo de T é o conjunto
\operatorname{Nuc}(T)=\{q(x)\in\mathbb{P}_{3}\mid T(q(x))=\mathbf{0}\},
onde \mathbf{0} é o polinômio nulo (o polinômio cujos coeficientes são todos zero). Em palavras: q está no núcleo se, ao aplicar T, obtemos o polinômio zero.

Passo 3

Vamos aplicar T ao polinômio dado. Calculamos
T(1+x)=x\cdot(1+x).
Aqui estou multiplicando x pelo polinômio 1+x, termo a termo — não é nada misterioso, é a multiplicação habitual de polinômios.

Passo 4

Efetuando a multiplicação obtemos
T(1+x)=x\cdot(1+x)=x + x^{2}.
Escrevendo em forma de coeficientes: o coeficiente do termo x^{2} é 1, do termo x é 1 e do termo constante é 0.

Passo 5

Comparação com o polinômio nulo: o polinômio nulo é aquele cujos coeficientes são todos zero, isto é \mathbf{0}=0+0\cdot x+0\cdot x^{2}+\dots. Como T(1+x)=x+x^{2} tem coeficientes não nulos (por exemplo o coeficiente de x é 1), concluímos que
T(1+x)\neq\mathbf{0}.
Portanto 1+x não satisfaz a condição para estar no núcleo.

Passo 6

(Comentário extra didático e rápido) Outra forma de ver: se x\cdot q(x) fosse o polinômio zero, então q(x) teria de ser zero — em anéis de polinômios sobre um corpo não há divisores de zero; ou ainda, se xq(x)\equiv0 então para todo x\neq0 vale q(x)=0, e um polinômio com infinitos zeros é o polinômio nulo. Assim o único polinômio no núcleo é o polinômio zero, e 1+x não é o polinômio zero.

Resposta

Não, \,p(x)=1+x não pertence a \operatorname{Nuc}(T).

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