Seja
a transformação linear definida por
. Em cada caso, decida se o vetor está em
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
. Pergunta-se se o vetor (polinômio)
pertence a
. Informação relevante: o polinômio fornecido é a constante
(ou seja, o polinômio identicamente igual a
para todo
).
Passo 2
Definição útil (o que significa estar em
):
é o núcleo (ou núcleo nulo) de
, isto é, o conjunto
onde
é o polinômio nulo (o polinômio que vale
para todo
). Em palavras: um polinômio está no núcleo se, ao aplicar
nele, obtemos o polinômio zero.
Passo 3
Vamos calcular
aplicado ao polinômio dado. Tomando
, pela definição de
temos
Note que
é um polinômio de grau
(não é o polinômio nulo).
Passo 4
Como
e
não é o polinômio zero (ele não é identicamente zero: por exemplo, em
vale
), concluímos que
. Pelo critério do Passo 2, isso significa que
não está em
.
Passo 5
Contexto geral (útil para prova): em geral, se
é um polinômio não nulo de grau
, então
tem grau
(desde que trabalhamos sobre um campo, por exemplo
), logo não pode ser o polinômio zero. Assim o núcleo de
é apenas o polinômio zero:
Como
é diferente de
, isso confirma a conclusão anterior.
Resposta
Não;
não pertence a
.