Seja T: \mathbb{P}_{3} \rightarrow \mathbb{P}_{3} a transformação linear definida por T(p(x))=x p(x). Em cada caso, decida se o vetor está em \operatorname{Nuc}(T).
p(x)=7

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{P}_{3}\to\mathbb{P}_{3} definida por T(p(x)) = x\,p(x). Pergunta-se se o vetor (polinômio) p(x)=7 pertence a \operatorname{Nuc}(T). Informação relevante: o polinômio fornecido é a constante 7 (ou seja, o polinômio identicamente igual a 7 para todo x).

Passo 2

Definição útil (o que significa estar em \operatorname{Nuc}(T)): \operatorname{Nuc}(T) é o núcleo (ou núcleo nulo) de T, isto é, o conjunto
\operatorname{Nuc}(T)=\{\,p(x)\in\mathbb{P}_3 \mid T(p(x))=0 \,\},
onde 0 é o polinômio nulo (o polinômio que vale 0 para todo x). Em palavras: um polinômio está no núcleo se, ao aplicar T nele, obtemos o polinômio zero.

Passo 3

Vamos calcular T aplicado ao polinômio dado. Tomando p(x)=7, pela definição de T temos
T(p(x))=x\,p(x)=x\cdot 7 = 7x.
Note que 7x é um polinômio de grau 1 (não é o polinômio nulo).

Passo 4

Como T(p(x))=7x e 7x não é o polinômio zero (ele não é identicamente zero: por exemplo, em x=1 vale 7), concluímos que T(p(x))\neq 0. Pelo critério do Passo 2, isso significa que p(x)=7 não está em \operatorname{Nuc}(T).

Passo 5

Contexto geral (útil para prova): em geral, se p(x) é um polinômio não nulo de grau n, então x\,p(x) tem grau n+1 (desde que trabalhamos sobre um campo, por exemplo \mathbb{R}), logo não pode ser o polinômio zero. Assim o núcleo de T é apenas o polinômio zero:
\operatorname{Nuc}(T)=\{0\}.
Como p(x)=7 é diferente de 0, isso confirma a conclusão anterior.

Resposta

Não; p(x)=7 não pertence a \operatorname{Nuc}(T).

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