Seja T: \mathbb{P}_{3} \rightarrow \mathbb{P}_{3} a transformação linear definida por T(p(x))=x p(x). Em cada caso, decida se o vetor está em \operatorname{Nuc}(T).
p(x)=0

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se o vetor (polinômio) p(x)=0 está em \operatorname{Nuc}(T).
Informações dadas: T:\mathbb{P}_{3}\to\mathbb{P}_{3} é a transformação linear definida por T(p(x))=x\,p(x). O polinômio que queremos testar é p(x)=0 (o polinômio nulo, isto é, o polinômio identicamente zero).

Passo 2

Definição importante (aula rápida): o núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores que são enviados para o vetor zero pelo operador. Em símbolo:
\operatorname{Nuc}(T)=\{\,p\in\mathbb{P}_3 \mid T(p)=0\,\}.
Aqui 0 denota o polinômio nulo (o elemento zero do espaço vetorial \mathbb{P}_3), isto é, o polinômio cujos coeficientes são todos zero e que vale zero para todo x.

Passo 3

Agora calculamos T aplicado ao polinômio dado. Tomando p(x)=0, temos
T\bigl(p(x)\bigr)=T(0)=x\cdot 0.
Multiplicar qualquer polinômio por o polinômio nulo resulta no polinômio nulo (porque todos os coeficientes ficam multiplicados por zero), portanto
x\cdot 0 = 0.
Assim T(0)=0.

Passo 4

Concluímos a partir da definição de núcleo: como T(0)=0, o polinômio p(x)=0 satisfaz a condição para pertencer ao núcleo, isto é, 0\in\operatorname{Nuc}(T). Observação adicional e útil para a prova: para qualquer transformação linear T sempre vale T(0)=0, logo o vetor zero pertence sempre ao núcleo de qualquer transformação linear. Para ver isso pela propriedade de linearidade, para qualquer v e escalar 0 temos T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0.

Passo 5

Exemplo de contraste (para fixar a ideia): o polinômio q(x)=1 não pertence ao núcleo, pois T(q)=x\cdot 1=x\neq 0. Isso mostra que nem todo polinômio está no núcleo, mas o polinômio nulo sempre está.

Resposta

Sim, p(x)=0 pertence a \operatorname{Nuc}(T).

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