Seja
a transformação linear definida por
. Em cada caso, decida se o vetor está em
.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se o vetor (polinômio)
está em
.
Informações dadas: é a transformação linear definida por
. O polinômio que queremos testar é
(o polinômio nulo, isto é, o polinômio identicamente zero).
Informações dadas:
Passo 2
Definição importante (aula rápida): o núcleo de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores que são enviados para o vetor zero pelo operador. Em símbolo:
Aqui
denota o polinômio nulo (o elemento zero do espaço vetorial
), isto é, o polinômio cujos coeficientes são todos zero e que vale zero para todo
.
Passo 3
Agora calculamos
aplicado ao polinômio dado. Tomando
, temos
Multiplicar qualquer polinômio por o polinômio nulo resulta no polinômio nulo (porque todos os coeficientes ficam multiplicados por zero), portanto
Assim
.
Passo 4
Concluímos a partir da definição de núcleo: como
, o polinômio
satisfaz a condição para pertencer ao núcleo, isto é,
. Observação adicional e útil para a prova: para qualquer transformação linear
sempre vale
, logo o vetor zero pertence sempre ao núcleo de qualquer transformação linear. Para ver isso pela propriedade de linearidade, para qualquer
e escalar
temos
.
Passo 5
Exemplo de contraste (para fixar a ideia): o polinômio
não pertence ao núcleo, pois
. Isso mostra que nem todo polinômio está no núcleo, mas o polinômio nulo sempre está.
Resposta
Sim,
pertence a
.