Em
, dados
e
vamos considerar as operações de soma +e produto por um escalar
definidas de três formas diferentes:
Em cada caso, dizer quais condições (da adição e da multiplicação por um escalar) da definição de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados.
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado define em
a operação de soma
e o produto escalar usual
Queremos verificar, para essas operações, quais axiomas de espaço vetorial sobre a adição e sobre o produto escalar ainda valem e quais são violados.
Passo 2
Axiomas da adição:
– Comutatividade : aqui
– Comutatividade
e em geral
. Logo a comutatividade falha.
– Associatividade : um cálculo direto mostra que as duas composições diferem em geral, então a associatividade falha.
– Existência de elemento neutro tal que
: temos
– Associatividade
– Existência de elemento neutro
logo o neutro à direita existe (é
). Porém
, ou seja, não há neutro à esquerda. Ainda assim o axioma usual exige apenas
, então esse axioma vale “à direita”.
– Existência de inverso aditivo: para cada existe
com
. De fato, tomando
temos
– Existência de inverso aditivo: para cada
Assim o inverso aditivo (à direita) existe.
Resumo da adição: falham comutatividade e associatividade; mantém-se o axioma
e a existência de inverso aditivo (à direita).
Passo 3
Axiomas do produto escalar:
– Distributividade sobre soma de vetores :
– Distributividade sobre soma de vetores
e
são iguais, logo vale.
– Distributividade sobre soma de escalares :
– Distributividade sobre soma de escalares
mas
que em geral é diferente. Portanto esse axioma falha.
– Compatibilidade com produto de escalares : como o produto escalar é o usual, isso vale.
– Identidade escalar : vale trivialmente.
– Axiomas adicionais e
também valem, pois o produto escalar é o usual e o “zero” aqui é
.
– Compatibilidade com produto de escalares
– Identidade escalar
– Axiomas adicionais
Resposta
Aditivamente, falham comutatividade e associatividade; mantém-se
e existe inverso aditivo (à direita). Quanto ao produto escalar, mantêm-se
,
,
e
; falha apenas
.