Em \mathbb{R}^{2}, dados \lambda \in \mathbb{R}, u=\left(u_{1}, u_{2}\right) e v=\left(v_{1}, v_{2}\right) vamos considerar as operações de soma +e produto por um escalar \cdot definidas de três formas diferentes:
Em cada caso, dizer quais condições (da adição e da multiplicação por um escalar) da definição de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados.
(a) u+v=\left(u_{1}+v_{2}, u_{2}-v_{1}\right), \lambda \cdot u=\left(\lambda u_{1}, \lambda u_{2}\right);

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 a operação de soma
u+v=(u_1+v_2,\;u_2-v_1)
e o produto escalar usual
\lambda\cdot u=(\lambda u_1,\;\lambda u_2).
Queremos verificar, para essas operações, quais axiomas de espaço vetorial sobre a adição e sobre o produto escalar ainda valem e quais são violados.

Passo 2

Axiomas da adição:
– Comutatividade u+v=v+u: aqui
u+v=(u_1+v_2,\;u_2-v_1),\quad v+u=(v_1+u_2,\;v_2-u_1),
e em geral (u_1+v_2,v_2-u_1)\neq(v_1+u_2,v_2-u_1). Logo a comutatividade falha.
– Associatividade (u+v)+w=u+(v+w): um cálculo direto mostra que as duas composições diferem em geral, então a associatividade falha.
– Existência de elemento neutro 0 tal que u+0=u: temos
u+ (0,0)=(u_1+0,\;u_2-0)=(u_1,u_2)=u,
logo o neutro à direita existe (é (0,0)). Porém (0,0)+u=(0+u_2,\;0-u_1)=(u_2,-u_1)\neq u, ou seja, não há neutro à esquerda. Ainda assim o axioma usual exige apenas u+0=u, então esse axioma vale “à direita”.
– Existência de inverso aditivo: para cada u existe v com u+v=0. De fato, tomando v=(u_2,-u_1) temos
u+v=(u_1+(-u_1),\;u_2-u_2)=(0,0).
Assim o inverso aditivo (à direita) existe.
Resumo da adição: falham comutatividade e associatividade; mantém-se o axioma u+0=u e a existência de inverso aditivo (à direita).

Passo 3

Axiomas do produto escalar:
– Distributividade sobre soma de vetores \lambda\cdot(u+v)=\lambda\cdot u+\lambda\cdot v:
\lambda\cdot(u+v) =(\lambda(u_1+v_2),\;\lambda(u_2-v_1))
e
\lambda\cdot u+\lambda\cdot v =(\lambda u_1+\lambda v_2,\;\lambda u_2-\lambda v_1),
são iguais, logo vale.
– Distributividade sobre soma de escalares (\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u:
(\lambda+\mu)\cdot u=(\!(\lambda+\mu)u_1,(\lambda+\mu)u_2\!)
mas
\lambda\cdot u+\mu\cdot u=(\lambda u_1+\mu u_2,\;\lambda u_2-\mu u_1),
que em geral é diferente. Portanto esse axioma falha.
– Compatibilidade com produto de escalares (\lambda\mu)\cdot u=\lambda\cdot(\mu\cdot u): como o produto escalar é o usual, isso vale.
– Identidade escalar 1\cdot u=u: vale trivialmente.
– Axiomas adicionais 0\cdot u=0 e \lambda\cdot 0=0 também valem, pois o produto escalar é o usual e o “zero” aqui é (0,0).

Resposta

Aditivamente, falham comutatividade e associatividade; mantém-se u+0=u e existe inverso aditivo (à direita). Quanto ao produto escalar, mantêm-se \lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v, (\lambda\mu)u=\lambda(\mu u), 1\cdot u=u e 0\cdot u=0; falha apenas (\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u.

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